二分图题目
当时看到网上有人的博客写着最小边覆盖，也有人写最小路径覆盖，我就有点方了，斌哥（kuangbin）的博客上只给了代码，没有解释，但是现在我还是明白了，这是个最小路径覆盖（因为我现在还不知道啥叫最小边覆盖）。
有一篇博客如下写道：最小路径覆盖只对有向无环图而言，且并不要求原图是二分图，给所有点一个分身，让他们分别处于两个集合就可以，求出的最小路径覆盖 = n - 最大匹配值。
证明：假设最大匹配值是0，那原先一共有n个路径，每次多一个匹配，这样的路径就减少1，证明完毕。
那么回到这个题，这个题到底是有向图还是无向图呢？其实这取决于你的建图方式，这个图的难点也是建图，我先说下我的建图经历：
一开始我是想把一个点（x，y）化成一位坐标系X*m+Y，建立一个无向图，然后使用复制的方法后来发现这种方式是不太好的，因为它浪费了很多的空间，而且日狗的是还出现了莫名其妙的错误，所以我也决定不粘贴自己的代码了，于是我开始求助斌哥，看他博客里采用了一种hash的思想，我感觉是非常好的，他使用的是无向图的建立方式，然后最小路径覆盖 = n - 最大匹配值 / 2，因为复制之后的匹配，每个边都被匹配了两次，这个自己画一下就能看出来。这个方法的正确性毫无置疑，再次附上斌哥的博客地址以及代码。http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/08/26/2657446.html
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=;
int uN,vN;//u,v数目
int g[MAXN][MAXN];
int linker[MAXN];
bool used[MAXN];
bool dfs(int u)//从左边开始找增广路径
{
int v;
for(v=; v<vN; v++) //这个顶点编号从0开始，若要从1开始需要修改
if(g[u][v]&&!used[v])
{
used[v]=true;
if(linker[v]==-||dfs(linker[v]))
{
linker[v]=u;
return true;
}
}
return false;//这个不要忘了，经常忘记这句
}
int hungary()
{
int res=;
int u;
memset(linker,-,sizeof(linker));
for(u=; u<uN; u++)
{
memset(used,,sizeof(used));
if(dfs(u)) res++;
}
return res;
}
char map[][];
int hash[][];
int main()
{
int T;
int h,w;
scanf("%d",&T);
int tol;
while(T--)
{
scanf("%d%d",&h,&w);
tol=;
for(int i=; i<h; i++)
{
scanf("%s",&map[i]);
for(int j=; j<w; j++)
if(map[i][j]=='*')
hash[i][j]=tol++;
}
memset(g,,sizeof(g));
for(int i=; i<h; i++)
for(int j=; j<w; j++)
if(map[i][j]=='*')
{
if(i>&&map[i-][j]=='*')g[hash[i][j]][hash[i-][j]]=;
if(i<h-&&map[i+][j]=='*') g[hash[i][j]][hash[i+][j]]=;
if(j>&&map[i][j-]=='*') g[hash[i][j]][hash[i][j-]]=;
if(j<w-&&map[i][j+]=='*') g[hash[i][j]][hash[i][j+]]=;
}
uN=vN=tol;
printf("%d\n",tol-hungary()/);
}
return ;
}
那么有向图怎么建呢，某位大牛说很难建，因为还要判断这个边是否出现过，但其实并没有那么复杂，我们采用根据（i+j）的奇偶性的建图，建出来的就是一个有向图，因为与他相连的点奇偶性肯定与他不同，所以这样建图是正确的，想到这种方法的大神就是把这个题说成是最小边覆盖的人，我附上他的博客地址以及代码。http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/37900991
其实要分清有向图和无向图的最小路径覆盖也很简单，思考这样一个问题，有向图1->2->3，匹配是2，无向图1 - 2 - 3，把它当成有向图去考虑，假如我们把12匹配了，23就不能匹配了，因为无向图就是一个双向的有向图，既然选择这条边，那么就选择了正反向两条边，如果在选23，那么2这个点的入度和出度不是1了，也就不是正确的匹配了～
最后针对奇偶性建图再说一句，我更加推荐这种方法，比较的有思维水平，在这种建图方式中不会出现连指向，奇偶必须间隔，所以每个路径只能含有一条边，从而也验证了该种方式的正确性。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = ;
#define Del(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
int map[N][N],link[N],vis[N],vlink[N];
char path[][];
int line[][];
int n,m,t,tmp1,tmp2;
bool dfs(int x)
{
for(int i=; i<tmp2; i++)
{
if(map[x][i]== && vis[i]==)
{
vis[i]=;
if(link[i]==- || dfs(link[i]))
{
link[i]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}
void solve()
{
int ans=;
Del(link,-);
for(int i=; i<tmp1; i++)
{
Del(vis,);
if(dfs(i))
ans++;
}
//printf("%d\n",ans);
printf("%d\n",tmp1+tmp2-ans-);
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
//freopen("Input.txt","r",stdin);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
Del(path,);
for(int i=;i<=n;i++)
{
getchar();
for(int j=;j<=m;j++)
scanf("%c",&path[i][j]);
}
Del(line,-);
tmp1=,tmp2=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=m;j++)
{
if(path[i][j]=='*')
{
if((i+j)%==)
line[i][j]=tmp1++;
else
line[i][j]=tmp2++;
}
}
} Del(map,);
for(int i=; i<=n; i++)
{
for(int j=; j<=m; j++)
{
if(path[i][j]=='*' && (i+j)%==)
{
if(line[i-][j]>=)
map[line[i-][j]][line[i][j]]=;
if(line[i+][j]>=)
map[line[i+][j]][line[i][j]]=;
if(line[i][j-]>=)
map[line[i][j-]][line[i][j]]=;
if(line[i][j+]>=)
map[line[i][j+]][line[i][j]]=;
}
}
}
solve();
}
return ;
}