以前上实变函数的时候稍微讲了下这个故事呢. 来自Hansschwarzkopf
很久很久以前，在欧洲某国的一个小镇上，Hilbert先生开了一家拥有无数个房间的旅馆。一天，旅馆生意红火得一塌糊涂，不到下午两点，所有房间都住满了旅客。这时，又来了一位旅客，要求住进这家旅馆。服务生告诉他，已经客满，恕不接待。但这位旅客还是要坚持住下来。这可让这些经验丰富的服务生犯难了。他们实在没招，只好把伟大的Hilbert先生请来。Hilbert略微思索一下，对服务生说：你让1号房间的旅客搬到2号房间去，2号房间的旅客搬到第3号房间去，以此类推，1号房间不就空出来了吗？服务生恍然大悟，原来如此，卖糕的！这样，这位旅客如愿以偿住进了这家旅馆。
谁知，第二天早上，又来了2013位旅客，同样要求入住这家旅馆。要知道，这时候还没有哪位旅客退房，所有房间都住满了人。怎么办呢？服务生总算跟Hilbert先生学了一招，让1号房间的旅客搬到2014号房间去，2号房间的旅客搬到2015号房间去，这样就空出了2013个房间。这样，这2013位旅客也住进了这家旅馆。
好景不长，麻烦事接踵而至。到晚上，没有一位旅客退房，却来了可列位旅客要求入住这家旅馆。这时，小服务生还为向伟大的 Hilbert 先生学了一招暗自得意，高兴劲还没过去呢，谁会想到天有不测风云！怎么办？伟大的Hilbert 先生这时微笑着走过来。
“小伙子，什么事把你急成这样？”Hilbert 先生问道。
“是这样，来了可列位旅客，要求住进咱们的旅馆。”服务生真的很着急。
“这有什么难的？让1号房间的旅客搬到2号房间去，2号房间的旅客搬到4号房间去，3号房间的旅客搬到6号房间去，如此类推，奇数号房间不就腾出来了吗？这样就那可列位旅客就可以住下了”。Hilbert 先生依然微笑着。
得来全不费功夫。就这样，伟大的Hilbert先生把难题解决了。