微分动态规划 Differential Dynamic Programming DDP
注意上一讲中推导出的公式，我们发现如果只需更新Φ，则不必维护ψ的更新，即在一定程度上ψ是不需要的，所以我们在下面的讨论中不考虑ψ的影响。
使用上一讲中将非线性函数线性化的方法，并将s(t+1)表示为f(st, at)，则DDP的算法表示如下：
（1）选定标称轨迹s0_, a0_, s1_, a1_, ... sT_, aT_
（2）将在标称轨迹附近的点线性化，如
s(t+1) = f(st_, at_)+(▽s f(st_, at_))^T*(st-st_)+(▽a f(st_, at_))^T*(at-at_) = Atst + Btat
我们希望有(st, at) ≈ (st_, at_)
（3）通过LQR算法获得πt
（4）使用模拟器获得新的标称轨迹，即：s0_=initial state，at_ = π(st_)，st+1_ = f(st_, at_)
卡尔曼滤波 Kalman Filter
下面我们介绍卡尔曼滤波算法，这一算法属于隐马尔可夫模型HMM的一个特例，其假设我们观测到的状态并不是真正的状态，而是经过了一定的映射的，映射的结果可能会降低维数，并带来误差，其方程为yt=Cst+vt，其中vt服从均值为0、方差为Σ的高斯分布，yt即我们观察到的结果
卡尔曼滤波的思路为 P(st | y1, ..., yt) -> predict -> P(st+1 | y1, ..., yt) -> update -> P(st+1 | y1, ..., yt, yt+1)
其具体的算法过程如下：
Predict：st | y1, ..., yt ~ N(st|t, Σt|t)
then st+1 | y1, ..., yt ~ N(st+1|t, Σt+1|t)
where st+1 | t = Ast|t
Σt+1 | t = AΣt|tA^T+Σ0
Update：get st+1|y1, ..., yt+1 ~ N(st+1|t+1, Σt+1|t+1)
where st+1 | t+1 = st+1 | t + Kt+1(yt+1 - cst+1|t)
Kt+1 = Σt+1|t*c^T(c*Σt+1|tC^T+Σ0)^-1
Σt+1|t+1 = Σt+1|t - Σt+1|t*c^T*(c*Σt+1|tC^T+Σ0)^-1*c*Σt+1|t
then st+1|t+1便是对st+1最佳的估计
线性二次高斯解法 Linear Quadatic Gaussian LQD
将我们上面介绍的两个方法合二为一，可得到下列方程
（1）St+1 = ASt+Bat+wt 其中wt~N(0,Σw)
（2）yt = cSt+vt 其中vt~N(0,Σ0)
则LQD算法的过程如下：
（1）使用卡尔曼滤波估计状态
s0|0 = s0; Σ0|0=0 对于s0~N(s0|0, Σ0|0)
（2）预测st+1|t = Ast|t+Bat以及Σt+1|t=AΣt|tA^T+Σ0
（3）通过LQR计算Lt，并计算策略函数 at = Lt*st = Lt*st|t
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