最大子序列和问题

给定K个整数组成的序列 {N1,N2,...,Nk} ,连续子列被定义为 {Ni,Ni+1,...,Nj} 其中 1≤i≤j≤K 。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列 {−2,11,−4,13,−5,−2} ，其连续子列 {11,−4,13} 有最大的和 20 。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。
本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

数据1：与样例等价，测试基本正确性；
数据2：102个随机整数；
数据3：103个随机整数；
数据4：104个随机整数；
数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。
输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:
6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:
20

问题分析：

首先最朴素的方法是暴力求解 O(n3)
直接两个for循环枚举子序列的首尾，然后再来个循环计算序列的和，每次更新和的最大值。但是这种方法的复杂度是 O(n3) ，效率太低了。
第二种方法是预处理 O(n2)
在读入的时候将前面数的和放在数组中，就能得到一个数组 sum[i] 储存前i个数的和。然后两重循环枚举首尾，利用 sum 数组迅速求出子序列的和。其实这种方法只是优化了前面那种方法的计算和的循环，复杂的是 O(n2) 。
第三种是利用分治思想 O(nlogn)
分治算法看代码不是很好理解，其实思想很简单，就是把序列分成两块计算，用递归分别求出两块序列中的最大子序列和，然后从序列中间向两边遍历求出包含中心的序列的最大和。返回最大的那个序列和。
用分治算法的复杂度好了一些，是 O(nlogn) ，虽然不是最优解，但是理解这种算法的确能让我们对递归理解得更加深刻。
第四种是累积遍历算法 O(n)
遍历序列的时候对Sum进行累计，如果Sum累积后小于0的话就把Sum重置为负无穷，每次更新Sum的最大值。最后便能求出最大值。
其实这个算法就是把序列分为好几块，每一块满足：对于任意k，前k个数的和不会小于0（小于0就会分裂成两块了），当前i个数的和大于最大值时就进行更新，而最大值的左边界就是该块序列的第一个，右边界是第i个。时间复杂度为O(n)，而且可以一边读取一边处理，不需要开辟数组来存，空间也很省。
第五种是动态规划 O(n)
dp做法是很普遍的做法，只要想出状态转移方程就可以很快做出来了。
状态转移方程： sum[i]=max{sum[i−1]+a[i],a[i]} . ( sum[i] 记录以 a[i] 为子序列末端的最大连续和。)在dp的过程中便可以更新 sum 数组的最大值以及两个边界。
其实完全可以不用数组，累计 sum 直到 sum+a<a ，把 sum 赋值为 a ，更新最大值就行了。你会发现这跟第4种方法是一样的。。。只是判断条件不一样，一个是 sum<=0 一个是 sum+a<a 。（其实是一样的）所以复杂度和第四种是一样的都是 O(n) 。

暴力求解

int MaxSubseqSum1( int A[], int N )
{ 
int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j, k;
for( i = 0; i < N; i++ ) { /* i是子列左端位置 */
for( j = i; j < N; j++ ) { /* j是子列右端位置 */
            ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
for( k = i; k <= j; k++ )
                ThisSum += A[k];
if( ThisSum > MaxSum ) /* 如果刚得到的这个子列和更大 */
                MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果 */
            } /* j循环结束 */
    } /* i循环结束 */
return MaxSum;
}

预处理

int MaxSubseqSum2( int A[], int N )
{ 
int ThisSum, MaxSum = 0;
int i, j;
for( i = 0; i < N; i++ ) { /* i是子列左端位置 */
        ThisSum = 0; /* ThisSum是从A[i]到A[j]的子列和 */
for( j = i; j < N; j++ ) { /* j是子列右端位置 */
            ThisSum += A[j];/*对于相同的i，不同的j，只要在j-1次循环的基础上累加1项即可*/
if( ThisSum > MaxSum ) /* 如果刚得到的这个子列和更大 */
                MaxSum = ThisSum; /* 则更新结果 */
            } /* j循环结束 */
    } /* i循环结束 */
return MaxSum;
}

分治思想

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
return A > B ? A > C ? A : C : B > C ? B : C;
}

int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */
int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */
int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/

int LeftBorderSum, RightBorderSum;
int center, i;

if( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */
if( List[left] > 0 )  return List[left];
else return 0;
    }

/* 下面是"分"的过程 */
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */
/* 递归求得两边子列的最大和 */
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center+1, right );

/* 下面求跨分界线的最大子列和 */
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;
for( i=center; i>=left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */
        LeftBorderSum += List[i];
if( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
    } /* 左边扫描结束 */

    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;
for( i=center+1; i<=right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */
        RightBorderSum += List[i];
if( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
    } /* 右边扫描结束 */

/* 下面返回"治"的结果 */
return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}

int MaxSubseqSum3( int List[], int N )
{ /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */
return DivideAndConquer( List, 0, N-1 );
}

累积遍历算法

int MaxSubseqSum4( int A[], int N )
{ 
int ThisSum, MaxSum;
int i;
        ThisSum = MaxSum = 0;
for( i = 0; i < N; i++ ) {
            ThisSum += A[i]; /* 向右累加 */
if( ThisSum > MaxSum )
                MaxSum = ThisSum; /* 发现更大和则更新当前结果 */
else if( ThisSum < 0 ) /* 如果当前子列和为负 */
                ThisSum = 0; /* 则不可能使后面的部分和增大，抛弃之 */
}
return MaxSum;
}

动态规划算法

sum←(-∞)  
max←(-∞)  
for i←1 to len do  
if sum+arr[i]<arr[i] then  
        sum←arr[i]  
else  
        sum←sum+arr[i]  
    end if  
if max<sum then  
        max←sum  
    end if  
end for  
return max

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