BZOJ 1010: 玩具装箱toy (斜率优化dp)

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

思路:我们不难看出这是一维的整数划分问题我们可以推出状态方程
dp[i]=min(dp[j]+(i−j−1+sum[i]−sum[j]−L)2),(0<=j<i) 时间复杂度为O(n2)

然后我们经过证明决策单调性后可以用斜率优化dp

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<string>

#include<vector>

#include<stack>

#include<bitset>

#include<cstdlib>

#include<cmath>

#include<set>

#include<list>

#include<deque>

#include<map>

#include<queue>

#define ll long long int

using namespace std;

inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}

inline ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}

int moth[]={,,,,,,,,,,,,};

int dir[][]={, ,, ,-, ,,-};

int dirs[][]={, ,, ,-, ,,-, -,- ,-, ,,- ,,};

const int inf=0x3f3f3f3f;

const ll mod=1e9+;

ll n,c;

ll sum[];

ll a[];

ll dp[];

ll q[];

double slope(ll j,ll k){

    return (dp[j]+(j+sum[j]+c)*(j+sum[j]+c)-dp[k]-(k+sum[k]+c)*(k+sum[k]+c))

    /(2.0*(j+sum[j]-k-sum[k]));

}

int main(){

    ios::sync_with_stdio(false);

    while(cin>>n>>c){

        ++c;

        for(int i=;i<=n;i++){

            cin>>a[i];

            sum[i]=sum[i-]+a[i];

        }

        int l,r;

        l=r=;

        for(int i=;i<=n;i++){

            while(l<r && slope(q[l],q[l+])<i+sum[i]) ++l;

            dp[i]=dp[q[l]]+(i+sum[i]-q[l]-sum[q[l]]-c)*(i+sum[i]-q[l]-sum[q[l]]-c);

            while(l<r && slope(q[r-],q[r])>slope(q[r],i)) --r;

            q[++r]=i;

        }

        cout<<dp[n]<<endl;

    }

    return ;

}

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