[luogu P3216] [HNOI2011]数学作业

时间：2022-12-12 20:56:51

[luogu P3216] [HNOI2011]数学作业

题目描述

小 C 数学成绩优异，于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题：

给定正整数 N 和 M，要求计算 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值，其中 Concatenate (1 ..N)是将所有正整数 1, 2, …, N 顺序连接起来得到的数。例如，N = 13, Concatenate (1 .. N)=12345678910111213.小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式：

从文件input.txt中读入数据，输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M，其中30%的数据满足1≤N≤1000000；100%的数据满足1≤N≤1018且1≤M≤109.

输出格式：

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值。

输入输出样例

输入样例#1： 
13 13
输出样例#1： 
4

很显然，我们可以得到一个递推式：fn=10^len(n)*fn-1+n。然后看到范围那么大，而式子很简单，所以我们就将原式转为矩阵。

显然，根据原式，可以构造出如下矩阵：

{{fn}               {{10^len(n),1,1}                        {{fn-1}

{n}       =         {0,1,1}                    *                 {n-1}

{1}}                 {0,0,1}                                      {1}}

但是，我们发现，10^len(n)并不是一个常数。

怎么办？分段来求。1~9一段，10~99一段，100~999一段……10^k~n一段。

这样，就可以避免这一项会变化的情况了。

看起来非常的easy，是不是？写起来就不会这么觉得了。

特别是边界和细节，非常难以处理。调了整整2个多小时。。

code：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define LL unsigned long long
 using namespace std;
 LL n,m,po[],lim[];
 struct Mat {
     LL a[][]; Mat() {memset(a,,sizeof a);}
 }tran,ans;
 void pre() {
     tran.a[][]=,tran.a[][]=;
     tran.a[][]=,tran.a[][]=,tran.a[][]=;
     tran.a[][]=,tran.a[][]=,tran.a[][]=;
     po[]=,po[]=; ; i<=; i++) po[i]=po[i-]*;
     lim[]=; ; i<=; i++) lim[i]=lim[i-]*; lim[]=;
     ans.a[][]=,ans.a[][]=,ans.a[][]=;
 }
 Mat Mul(Mat u,Mat v) {
     Mat w; int i,j,k;
     ; i<; i++)
         ; j<; j++)
             ; k<; k++)
                 (w.a[i][j]+=u.a[i][k]*v.a[k][j])%=m;
     return w;
 }
 Mat Qpow(Mat b,LL p) {
     ) return b;
     Mat t=Qpow(b,p/); t=Mul(t,t);
     ==?t:Mul(t,b);
 }
 int main() {
     cin>>n>>m,pre();
     ; i<=; i++) ]<=n) {
         tran.a[][]=po[i+]%m;
         &&lim[i]-<=n) ans=Mul(Qpow(tran,lim[i]-lim[i-]),ans);
         ]+),ans);
     }else break;
     cout<<ans.a[][]<<'\n';
     ;
 }

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