一句话题意
L个点，P条有向边，求图中最大比率环（权值(Fun)与长度(Tim)的比率最大的环）。
Solution
巨说这是0/1分数规划。
话说 0/1分数规划 是真的难，但貌似有一些规律，总是离不开一个二分和带mid的不等式。
记环S=({vi},{ei})， 其中{vi}为环上结点的集合，{ei}为环上的边的集合
我们先分析一波公式：不过是要求\(\sum_{i=1}^{t}Fun[v[i]]/\sum_{i=1}^{t}Tim[e[i]]>mid\) 最小
不难想到要二分一个mid然后判定图上是否存在一个环S
使得
\[\sum_{i=1}^{t}Fun[e[i]]+\sum_{i=1}^{t}Tim[v[i]]>0
\]
\]
也相当于判断
\[\sum_{i=1}^{t}{Fun[vi]−mid∗Tim[ei]}>0
\]
\]
因为每个点有许多条出边，这样很难处理，但是每条边都只有一个连向的点，所以我们把左右两边都乘以-1，将对点的处理转变成对边的处理：
\[\sum_{i=1}^{t}mid∗Tim[ei]-Fun[v[i]]<0
\]
\]
那么思路便很明显了，对于每一个二分出来的mid，都跑一遍SPFA，而边权就是 mid*长度-连向点的点权，若有负环则L=mid，否则R=mid， 直到达到精度要求。
Coding
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4;
int vis[N],num[N],cnt,head[N],n,m;
double f[N],dis[N];
struct road
{
int to,next;
double t;
}e[N*10];
void add(int x,int y,double w)
{
cnt++;
e[cnt].to=y;
e[cnt].next=head[x];
e[cnt].t=w;
head[x]=cnt;
}
bool check(double mid)
{
queue<int> q;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
q.push(i);
dis[i]=0; vis[i]=num[i]=1;
}
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[u]+mid*e[i].t-f[u])
{
dis[v]=dis[u]+mid*e[i].t-f[u];
if(!vis[v])
{
q.push(v);
vis[v]=1;
num[v]++;
if(num[v]>=n) return 1;
}
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>f[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
double w;
cin>>x>>y>>w;
add(x,y,w);
}
double mid,l=0,r=1000;
while(r-l>0.0001)
{
mid=(l+r)/2;
//printf("%lf %lf\n",l,r);
if(check(mid)) l=mid;
else r=mid;
}
printf("%.2lf",l);
return 0;
}