POJ 1061青蛙的约会（拓展欧几里德算法）

时间：2022-11-24 18:38:12

题目链接: 传送门

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

思路

设经过t步后两青蛙相遇，则必满足以下等式： (x+mt)-(y+nt)=k*L(k=0,1,2....) 整理后得： (n-m)t+kL=x-y 满足欧几里德方程。

求 ax + by = c 的整数解。

  • 1、先计算gcd(a,b)，若c不能被gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以gcd(a,b)，得到新的不定方程 a' * x + b' * y = c' ，此时gcd(a',b')=1;
  • 2、利用欧几里德算法求出方程 a' * x + b' * y = 1 的一组整数解x0,y0，则c' * x0,c' * y0是方程 a' * x + b' * y = c' 的一组整数解；
  • 3、根据数论中的相关定理，可得方程 a' * x + b' * y = c' 的所有整数解为: x = c' * x0 + b' * t y = c' * y0 - a' * t (t为整数).上面的解也就是 a * x + b * y = c 的全部整数解。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

void extgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        extgcd(b,a%b,y,x);
        y -= x*(a/b);
    }
}

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    __int64 x,y,m,n,L;
    while (~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&L))
    {
        __int64 a,b,c,g,k1,k2,t;
        a = n-m;
        b = L;
        c = x - y;
        g = gcd(a,b);
        if (c % g)
        {
            printf("Impossible\n");
        }
        else
        {
            a /= g;
            b /= g;
            c /= g;
            extgcd(a,b,k1,k2);
            t = -c*k1/b;
            k1 = c*k1+t*b; //注释
            if (k1 < 0)
            {
                k1 += b;
            }
            printf("%I64d\n",k1);
        }
    }
    return 0;
}

/*注 1：此时方程的所有解为：x=c*k1:+b*t,x的最小的可能值是0，令x=0可求出当x最小时的t的取值，但由于x=0是可能的最小取值，实际上可能x根本取不到0，
那么由计算机的取整除法可知：由 t=-c*k1/b算出的t，代回x=c*k1+b*t中，求出的x可能会小于0，此时令t=t+1，求出的x必大于0；如果代回后x仍是大于等于0的，
那么不需要再做修正。*/

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