什么是数学 (R·柯朗 H·罗宾 著)

时间:2021-11-29 18:25:20

第1章 自然数

  引言

  $1 整数的计算

    1. 算术的规律

    2. 整数的表示

    3. 非十进位制中的计算

  $2 数学的无限性 数学归纳法

    1. 数学归纳法原理

    2. 等差级数

    3. 等比级数

    4. 前n项平方和

    *5. 一个重要的不等式

    *6. 二项式定理

    *7. 再谈数学归纳法

第1章补充 数论

  引言

  $1 素数

    1. 基本事实

    2. 素数的分布

  $2 同余

    1. 一般概念

    2. 费马定理

    3. 二次剩余

  $3 毕达哥拉斯和费马大定理

  $4 欧几里得辗转相除法

    1. 一般理论

    2. 在算术基本定理上的应用

    3. 欧拉函数φ 再谈费马定理

    4. 连分数 丢番都方程

第2章 数学中的数系

  引言

  $1 有理数

    1. 作为度量工具的有理数

    2. 数学内部对有理数的需要 推广的原则

    3. 有理数的几何解释

  $2 不可公度线段 无理数和极限概念

    1. 引言

    2. 十进位小数 无限小数

    3. 极限 无穷等比级数

    4. 有理数和循环小数

    5. 用区间套给出无理数的一般定义

    *6. 定义无理数的另一个方法 戴特金分割

  $3 解析几何 概述

    1. 基本原理

    *2. 直线方程和曲线方程

  $4 无限的数学分析

    1. 基本概念

    2. 有理数的可数性和连续统的不可数性

    3. 康托的"基数"

    4. 反证法

    5. 有关无限的悖论

    6. 数学的基础

  $5 复数

    1. 复数的起源

    2. 复数的几何解释

    3. 棣莫弗公式和单位根

    *4. 代数基本定理

  *$6.代数数和超越数

    1. 定义和存在性

    **2. 柳维尔定理和超越数的构造

第2章补充 集合代数

  1. 一般理论

  2. 在数理逻辑中的应用

  3. 在概率论中的一个应用

第3章 几何作图 数域的代数

  引言

  第1部分 不可能性的证明和代数

    $1 基本几何作图

      1. 域的构作和开平方根

      2. 正多边形

      *3. 阿波罗尼斯问题

    *$2 可作图的数和数论

      1. 一般理论

      2. 可作图的数都是代数数

    *$3 三个不可解的希腊问题

      1. 倍立方体问题

      2. 关于三次方程的一个定理

      3. 三等分任意角

      4. 正七变形

      5. 关于化圆为方的问题

  第2部分 作图的各种方法

    $4 几何变换 反演

      1. 一般说明

      2. 反演的性质

      3. 反演点的几何作图

      4. 只用圆规如何二等分一线段及求圆心

    $5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图

      *1. 倍立方体的古典作图

      2. 只限于用圆规

      3. 用机械工具作图 机械曲线 旋轮线

      *4. 连杆 波西里叶和哈特的反演器

    $6 再谈反演及其应用

      1. 角的不变性 圆族

      2. 在阿波罗尼斯问题上的应用

      *3. 重复反射

第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何

  $1 引言

    1. 几何性质的分类 变换下的不变性

    2. 射影变换

  $2 基本概念

    1. 射影变换群

    2. 笛沙格定理

  $3 交比

    1. 定义和不变性的证明

    2. 在完全四边形上的应用

  $4 平行性和无穷远

    1. 作为"理想点"的无穷远点

    2. 理想元素和射影

    3. 含有无穷远元素的交比

  $5 应用

    1. 初步说明

    2. 平面上笛沙格定理的证明

    3. 帕斯卡定理

    4. 布利安桑定理

    5. 对偶性简介

  $6 解析表示

    1. 初步说明

    *2. 齐次坐标 对偶性的代数基础

  $7 只用直尺的作图问题

  $8 二次曲线和二次曲面

    1. 二次曲线的初等度量几何

    2. 二次曲线的射影性质

    3. 二次曲线看作线曲线

    4. 关于二次曲线的帕斯卡和布利安桑的一般定理

    5. 双曲面

  $9 公里体系和非欧几何

    1. 公理方法

    2. 双曲非欧几里得几何

    3. 几何与现实

    4. 庞加莱的模型

    5. 椭圆几何和黎曼几何

  附录 *高维空间中的几何学

    1. 引言

    2. 解析的方法

    *3. 几何的方法或组合的方法

第5章 拓扑学

  引言

  $1 多面体的欧拉公式

  $2 图形的拓扑性质

    1. 拓扑性质

    2. 连通性

  $3 拓扑定理的其他例子

    1. 若当曲线定理

    2. 四色问题

    *3. 维的概念

    *4. 不动点定理

    5. 纽结

  $4 曲面的拓扑分类

    1. 曲面的亏格

    *2. 曲面的欧拉示性数

    3. 单侧曲面

  附录

    *1. 五色定理

    2. 多边形的若当曲线定理

    **3. 代数基本定理

第6章 函数和极限

  引言

  $1 变量和函数

    1. 定义和例子

    2. 角的弧度制

    3. 函数的图像 反函数

    4. 复合函数

    5. 连续性

    *6. 多元函数

    *7. 函数和变换

  $2 极限

    1. 序列an的极限

    2. 单调序列

    3. 欧拉数e

    4. 数π

    *5. 连分数

  $3 连续趋近的极限

    1. 引言 一般定义

    2. 极限概念的评述

    3. sinx/x的极限

    4. 当x->∞时的极限

  $4 连续性的精确定义

  $5 有关连续函数的两个基本定义

    1. 布尔查诺定理

    *2. 布尔查诺定理的证明

    3. 维尔斯特拉斯极值定理

    *4. 有关序列的一个定理 紧致集

  $6 布尔查诺定理的一些应用

第6章补充 极限和连续的一些例题

  $1 极限的例题

    1. 一般说明

    2. qn的极限

    3. n√p的极限

    4. 不连续函数当作连续函数的极限

    *5. 极限的叠代求法

  $2 连续性的例题

第7章 极大与极小

  引言

  $1 初等几何中的问题

    1. 两边给定求面积极大的三角形

    2. 赫伦定理光线的极值性质

    3. 三角形问题上的应用

    4. 椭圆和双曲线的切线性质 相应的极值性质

    *5. 到给定曲线的距离的极值

  $2 基本极值问题的一般原则

    1. 原则

    2. 例题

  $3 驻点与微分学

    1. 极值和驻点

    2. 多元函数的极大和极小 鞍点

    3. 极小极大点和拓扑学

    4. 点到曲面的距离

  $4 施瓦茨的三角形问题

    1. 施瓦茨的证明

    2. 另一种证法

    3. 钝角三角形

    4. 由光线形成的三角形

    *5. 有关反射和遍历运动的说明

  $5 施泰纳问题

    1. 问题及解答

    2. 两种不同情况的分析

    3. 一个补充问题

    4. 说明与习题

    5. 推广到道路网问题

  $6 极值与不等式

    1. 两个正量的算术平均和几何平均

    2. 推广到n个变量

    3. 最小二乘法

  $7 极值的存在性 狄里赫莱原理

    1. 一般说明

    2. 例题

    3. 初等极值问题

    4. 比较复杂情形中所存在的困难

  $8 等周问题

  *$9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系

  $10 变分法

    1. 引言

    2. 变分法 费马光学原理

    3. 贝努利对捷线问题的处理

    4. 球面上的测地线与极大-极小

  $11 极小问题的实现解法 肥皂膜实验

    1. 引言

    2. 肥皂膜实验

    3. 普拉图问题的几种新实验

    4. 其他数学问题的实验解法

第8章 微积分

  引言

  $1 积分

    1. 面积看作是一个极限

    2. 积分

    3. 积分概念的一般说明 一般定义

    4. 积分举例xr的积分

    5. "积分运算"的法则

  $2 导数

    1. 把导数看作是斜率

    2. 导数看作是--极限

    3. 例题

    4. 三角函数的导数

    *5. 可微性和连续性

    6. 导数和速度 二阶导数和加速度

    7. 二阶导数的几何意义

    8. 极大与极小

  $3 微分法

  $4 莱布尼茨的记号和"无穷小"

  $5 微积分基本定理

    1. 基本定理

    2. 初步应用 xr,cosx,sinx,arctanx的积分

    3. 表示π的莱布尼茨公式

  $6 指数函数和对数函数

    1. 对数的定义和性质 欧拉数e

    2. 指数函数

    3. ex,ax,xs的微分公式

    4. 用极限表示e,ex和lnx的表达式

    5. 对数的无穷级数展开式 数值计算

  $7 微分方程

    1. 定义

    2. 指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率 复利

    3. 其他例题 简谐振动

    4. 牛顿动力学定律

第8章补充

  $1 原理方面的内容

    1. 可微性

    2. 积分

    3. 积分概念的另一些应用 功 弧长

  $2 数量级

    1. 指数函数和x的幂

    2. ln(n!)的数量级

  $3 无穷级数和无穷乘积

    1. 函数的无穷级数

    2. 欧拉公式 cosx + isinx = eix

    3. 调和级数和Zeta函数 正弦的欧拉乘积

  **$4 用统计方法得到素数定理

第9章 最新进展

  $1 产生素数的公式

  $2 哥德巴赫猜想和孪生素数

  $3 费马大定理

  $4 连续统假设

  $5 集合论中的符号

  $6 四色定理

  $7 豪斯道夫维数和分形

  $8 纽结

  $9 力学中的一个问题

  $10 施泰纳问题

  $11 肥皂膜和最小曲面

  $12 非标准分析