第1章 自然数
引言
$1 整数的计算
1. 算术的规律
2. 整数的表示
3. 非十进位制中的计算
$2 数学的无限性 数学归纳法
1. 数学归纳法原理
2. 等差级数
3. 等比级数
4. 前n项平方和
*5. 一个重要的不等式
*6. 二项式定理
*7. 再谈数学归纳法
第1章补充 数论
引言
$1 素数
1. 基本事实
2. 素数的分布
$2 同余
1. 一般概念
2. 费马定理
3. 二次剩余
$3 毕达哥拉斯和费马大定理
$4 欧几里得辗转相除法
1. 一般理论
2. 在算术基本定理上的应用
3. 欧拉函数φ 再谈费马定理
4. 连分数 丢番都方程
第2章 数学中的数系
引言
$1 有理数
1. 作为度量工具的有理数
2. 数学内部对有理数的需要 推广的原则
3. 有理数的几何解释
$2 不可公度线段 无理数和极限概念
1. 引言
2. 十进位小数 无限小数
3. 极限 无穷等比级数
4. 有理数和循环小数
5. 用区间套给出无理数的一般定义
*6. 定义无理数的另一个方法 戴特金分割
$3 解析几何 概述
1. 基本原理
*2. 直线方程和曲线方程
$4 无限的数学分析
1. 基本概念
2. 有理数的可数性和连续统的不可数性
3. 康托的"基数"
4. 反证法
5. 有关无限的悖论
6. 数学的基础
$5 复数
1. 复数的起源
2. 复数的几何解释
3. 棣莫弗公式和单位根
*4. 代数基本定理
*$6.代数数和超越数
1. 定义和存在性
**2. 柳维尔定理和超越数的构造
第2章补充 集合代数
1. 一般理论
2. 在数理逻辑中的应用
3. 在概率论中的一个应用
第3章 几何作图 数域的代数
引言
第1部分 不可能性的证明和代数
$1 基本几何作图
1. 域的构作和开平方根
2. 正多边形
*3. 阿波罗尼斯问题
*$2 可作图的数和数论
1. 一般理论
2. 可作图的数都是代数数
*$3 三个不可解的希腊问题
1. 倍立方体问题
2. 关于三次方程的一个定理
3. 三等分任意角
4. 正七变形
5. 关于化圆为方的问题
第2部分 作图的各种方法
$4 几何变换 反演
1. 一般说明
2. 反演的性质
3. 反演点的几何作图
4. 只用圆规如何二等分一线段及求圆心
$5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图
*1. 倍立方体的古典作图
2. 只限于用圆规
3. 用机械工具作图 机械曲线 旋轮线
*4. 连杆 波西里叶和哈特的反演器
$6 再谈反演及其应用
1. 角的不变性 圆族
2. 在阿波罗尼斯问题上的应用
*3. 重复反射
第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何
$1 引言
1. 几何性质的分类 变换下的不变性
2. 射影变换
$2 基本概念
1. 射影变换群
2. 笛沙格定理
$3 交比
1. 定义和不变性的证明
2. 在完全四边形上的应用
$4 平行性和无穷远
1. 作为"理想点"的无穷远点
2. 理想元素和射影
3. 含有无穷远元素的交比
$5 应用
1. 初步说明
2. 平面上笛沙格定理的证明
3. 帕斯卡定理
4. 布利安桑定理
5. 对偶性简介
$6 解析表示
1. 初步说明
*2. 齐次坐标 对偶性的代数基础
$7 只用直尺的作图问题
$8 二次曲线和二次曲面
1. 二次曲线的初等度量几何
2. 二次曲线的射影性质
3. 二次曲线看作线曲线
4. 关于二次曲线的帕斯卡和布利安桑的一般定理
5. 双曲面
$9 公里体系和非欧几何
1. 公理方法
2. 双曲非欧几里得几何
3. 几何与现实
4. 庞加莱的模型
5. 椭圆几何和黎曼几何
附录 *高维空间中的几何学
1. 引言
2. 解析的方法
*3. 几何的方法或组合的方法
第5章 拓扑学
引言
$1 多面体的欧拉公式
$2 图形的拓扑性质
1. 拓扑性质
2. 连通性
$3 拓扑定理的其他例子
1. 若当曲线定理
2. 四色问题
*3. 维的概念
*4. 不动点定理
5. 纽结
$4 曲面的拓扑分类
1. 曲面的亏格
*2. 曲面的欧拉示性数
3. 单侧曲面
附录
*1. 五色定理
2. 多边形的若当曲线定理
**3. 代数基本定理
第6章 函数和极限
引言
$1 变量和函数
1. 定义和例子
2. 角的弧度制
3. 函数的图像 反函数
4. 复合函数
5. 连续性
*6. 多元函数
*7. 函数和变换
$2 极限
1. 序列an的极限
2. 单调序列
3. 欧拉数e
4. 数π
*5. 连分数
$3 连续趋近的极限
1. 引言 一般定义
2. 极限概念的评述
3. sinx/x的极限
4. 当x->∞时的极限
$4 连续性的精确定义
$5 有关连续函数的两个基本定义
1. 布尔查诺定理
*2. 布尔查诺定理的证明
3. 维尔斯特拉斯极值定理
*4. 有关序列的一个定理 紧致集
$6 布尔查诺定理的一些应用
第6章补充 极限和连续的一些例题
$1 极限的例题
1. 一般说明
2. qn的极限
3. n√p的极限
4. 不连续函数当作连续函数的极限
*5. 极限的叠代求法
$2 连续性的例题
第7章 极大与极小
引言
$1 初等几何中的问题
1. 两边给定求面积极大的三角形
2. 赫伦定理光线的极值性质
3. 三角形问题上的应用
4. 椭圆和双曲线的切线性质 相应的极值性质
*5. 到给定曲线的距离的极值
$2 基本极值问题的一般原则
1. 原则
2. 例题
$3 驻点与微分学
1. 极值和驻点
2. 多元函数的极大和极小 鞍点
3. 极小极大点和拓扑学
4. 点到曲面的距离
$4 施瓦茨的三角形问题
1. 施瓦茨的证明
2. 另一种证法
3. 钝角三角形
4. 由光线形成的三角形
*5. 有关反射和遍历运动的说明
$5 施泰纳问题
1. 问题及解答
2. 两种不同情况的分析
3. 一个补充问题
4. 说明与习题
5. 推广到道路网问题
$6 极值与不等式
1. 两个正量的算术平均和几何平均
2. 推广到n个变量
3. 最小二乘法
$7 极值的存在性 狄里赫莱原理
1. 一般说明
2. 例题
3. 初等极值问题
4. 比较复杂情形中所存在的困难
$8 等周问题
*$9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系
$10 变分法
1. 引言
2. 变分法 费马光学原理
3. 贝努利对捷线问题的处理
4. 球面上的测地线与极大-极小
$11 极小问题的实现解法 肥皂膜实验
1. 引言
2. 肥皂膜实验
3. 普拉图问题的几种新实验
4. 其他数学问题的实验解法
第8章 微积分
引言
$1 积分
1. 面积看作是一个极限
2. 积分
3. 积分概念的一般说明 一般定义
4. 积分举例xr的积分
5. "积分运算"的法则
$2 导数
1. 把导数看作是斜率
2. 导数看作是--极限
3. 例题
4. 三角函数的导数
*5. 可微性和连续性
6. 导数和速度 二阶导数和加速度
7. 二阶导数的几何意义
8. 极大与极小
$3 微分法
$4 莱布尼茨的记号和"无穷小"
$5 微积分基本定理
1. 基本定理
2. 初步应用 xr,cosx,sinx,arctanx的积分
3. 表示π的莱布尼茨公式
$6 指数函数和对数函数
1. 对数的定义和性质 欧拉数e
2. 指数函数
3. ex,ax,xs的微分公式
4. 用极限表示e,ex和lnx的表达式
5. 对数的无穷级数展开式 数值计算
$7 微分方程
1. 定义
2. 指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率 复利
3. 其他例题 简谐振动
4. 牛顿动力学定律
第8章补充
$1 原理方面的内容
1. 可微性
2. 积分
3. 积分概念的另一些应用 功 弧长
$2 数量级
1. 指数函数和x的幂
2. ln(n!)的数量级
$3 无穷级数和无穷乘积
1. 函数的无穷级数
2. 欧拉公式 cosx + isinx = eix
3. 调和级数和Zeta函数 正弦的欧拉乘积
**$4 用统计方法得到素数定理
第9章 最新进展
$1 产生素数的公式
$2 哥德巴赫猜想和孪生素数
$3 费马大定理
$4 连续统假设
$5 集合论中的符号
$6 四色定理
$7 豪斯道夫维数和分形
$8 纽结
$9 力学中的一个问题
$10 施泰纳问题
$11 肥皂膜和最小曲面
$12 非标准分析