时间复杂度、空间复杂度

时间：2023-01-17 17:08:47

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。其作用：时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

一、时间复杂度

时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。


计算方法

1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f(n)，因此，算法的时间复杂度记做：T(n) = O(f(n))
分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f(n)的增长率成正比，所以f(n)越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T(n)的同数量级（它的同数量级有以下：1、Log2n 、n 、nLog2n、n2、n3，2n，n！），找出后，f(n) = 该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n) = O(f(n))

例一：

for(int i = 0; i < n; i++) {
    //一些列复杂度为O(1)的步骤....
}

int count = 1;
while(count < n) {
    count += 2;
    //一些列复杂度为O(1)的步骤....
}

int count = 1;
while(count < n) {
    count *= 2;
    //一些列复杂度为O(log2n)的步骤....
}

第一和第二个循环时间复杂度都是O(n)。通常，如果某个循环结构以线性方式运行n次，并且循环体的时间复杂度都是O(1)，那么该循环的复杂度就是O(n)。即使，该循环跳过某些常数部分，只要跳过的部分是线性的，那么该循环体的时间复杂度仍就是O(n)。
第三个循环时间复杂度都是O(log2n)。因为，循环体的复杂度是对数级的，该循环是O(logn)的，通常情况是2为底的，也就是O(log2n)。

例二：

for（i=1;i<=n;++i）{
    for(j=1;j<=n;++j) {
        c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作执行次数：n的平方次
        for(k=1;k<=n;++k)
           c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作执行次数：n的三次方
    }
}

则有 T(n) = n2 + n3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定n的三次方为T(n)的同数量级；
则有 f(n) = n3，然后根据T(n)/f(n)求极限可得到常数c；
则该算法的时间复杂度：T(n) = O(n3)。

3. 在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O(n)，二重则为O(n2)，依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。


分类

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：（常对线，线对，平立指）
常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n2) 立方阶O(n3) ... k次方阶O(nk)、指数阶O(2n) 。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

    c < log2n < n < nLog2N < n2 < n3 < 2n < 3n < n!

其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 nlog2N ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n、3n、n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

 

 算法的时间复杂度和空间复杂度

排序法

最差时间分析 平均时间复杂度 稳定度 空间复杂度
冒泡排序 O(n2) O(n2) 稳定 O(1)
快速排序 O(n2) O(n*log2n) 不稳定 O(log2n)~O(n)
选择排序 O(n2) O(n2) 稳定 O(1)
二叉树排序 O(n2) O(n*log2n) 不一顶 O(n)

插入排序

O(n2) O(n2) 稳定 O(1)
堆排序 O(n*log2n) O(n*log2n) 不稳定 O(1)
希尔排序 O O 不稳定 O(1)

 

二、空间复杂度

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度,记做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的时间复杂度是O(n2),空间复杂度是O(1) 。而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了，因为每次递归都要存储返回信息。一个算法的优劣主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面衡量。 

 

三、时间与空间复杂度比较

 对于一个算法，其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。当追求一个较好的时间复杂度时，可能会使空间复杂度的性能变差，即可能导致占用较多的存储空间；反之，当追求一个较好的空间复杂度时，可能会使时间复杂度的性能变差，即可能导致占用较长的运行时间。另外，算法的所有性能之间都存在着或多或少的相互影响。因此，当设计一个算法(特别是大型算法)时，要综合考虑算法的各项性能，算法的使用频率，算法处理的数据量的大小，算法描述语言的特性，算法运行的机器系统环境等各方面因素，才能够设计出比较好的算法。算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度。

 

 参考：http://baike.baidu.com/view/104946.htm
         http://www.douban.com/note/91775206/
         http://www.cnblogs.com/songQQ/archive/2009/10/20/1587122.html
         http://baike.baidu.com/view/540497.htm

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