1.为何学数学？
数学属于幕后。
彩虹属于个人经验。
等于连续平方之和（1+4+9+...）的唯一平方数为4900（1除外）。
2.无几乎成了律师
没有人能碰巧成为数学叫，相反，要成为数学家需要全力以赴，即使有天分的人也极容易放弃。
对你天分最尊重的老师，未必最能让你学到最多，或许那些偶尔让你觉得自己愚蠢的老师，才是最好的老师。
3.数学的广度
对于五次方程没有求根公式，如果忽略方程的数值解二区思考他们的对称性，这一切会变得相当明显。
定义使失误定型，却限制了创意和多元的层面。定义意味着尝试讲一个概念的所有可能的多样性，简化为一个简洁的词语。
科学只包含那些凑巧被许多科学家认同的意见。
一个数学的圆hi从余额某种共同错觉的东西，是一个具有非常明确特征的概念，他的“存在”是因为人类心灵可以从这些特征推导出其他性质。
数学感觉起来就像存在于“某处”，寻找一个开放性问题的答案就像是发现，而非发明。数学是人类心灵的产物，但不屈从于人类的意志。
金钱是共享的社会构造，金钱有价值，因为我们同意赋予它价值。
人类的数学更加接近于我们特大户的生理学、经验混入心里偏好，是狭隘的而非普遍的。
算数似乎源于两件事：季节变化和商业。
认为数学只有唯一的一种——我们这一种——是柏拉图主义者的信念。
数学家是那些看到有做数学机会的人。
数学家总是可以辨识出伙伴的特质，并且发现伙伴的心灵状态。
4.不都已经做完了吗？
为了避免损害学生的自信，教科书不会列出无法用课堂所教方法接触问题。
学越多的数学，将发现更多的机会去问新问题。当我们的数学只是增加，新发现的机会也跟着增加。
当你学习任何学科，随着所知越多，理解新材料上的速率也越快。你已学到游戏规则，且能熟悉运用，下一阶段的学习将变得比较容易，除非你设下较高的标准，数学也是如此。
每一个正整数最多是四个平方数的和。
6.数学家如何思考
雅克·阿达玛：第一，大部分的数学思考从模糊的视觉影像开始，然后才使用符号使之形式化。第二，数学的想法似乎经理以下三个阶段方才产生。首先，必须对问题下很大功夫，尝试了解问题，找出解决的方式和透过范例去发现有用的通则。然后，停止思考问题，转而做其他事情将很有帮助，潜意识将发挥作用，将会“恍然大悟”。最后，正式写下所有的事情，检查细节，进行组织以便发表，让其他数学家可以阅读。
亨利·庞加莱称第一阶段为“准备”，第二阶段为“启发后的孕育”，第三阶段为“验证”。
答案就在眼前，我却看不出来，知道我停止尝试解开谜题，我的潜意识才得以运作。
一旦你了解一个问题，它的许多层面就突然变得更简单。正如全球数学家常挂在嘴边的：任何事要不是不可能，就是微不足道。
7.如何学习数学
记住遇到了困难，不要装作若无其事，不要卡在这里，继续读下去，通常下一句话或下一段话就会解决你的问题。
如果你继续勇敢的研读下去，却仍然无法理解，就应该向助教或老师求助。
当你对某些数学不了解时，这通常是因为你之前未能适当了解其他的数学，但教科书却假定这些数学你早已经知道。
当不理解是可以回到之前的节点，类似DFS的过程，绝对不要重复已走过的路。
阅读和主题相关的书籍。已非常轻松的态度去研读，跳过那些太难或太无聊的东西，集中在那些吸引你注意力的内容上。
8.对证明的恐惧
证明就是使用等式和不等式，将条件替换成结论的过程。【注：自己的理解，非书中给出】
10.讲述数学故事
如果证明是一个故事，则令人难忘的故事一定是一个绝妙的冒险故事。如此一来，如何去构建证明？我们不需要使用正式语言去检查每一个微小的细节，我们需要故事主线清晰明显。需要改进的不是证明的语法，而是语义。
12.大工程
专家们通常是对的，但有时他们的判断会因为知道太多而产生偏见。
13.无解的问题
在数学的领域，我们能够证明某件事不可能发生。
阿瑟·克拉克：“当一位资深科学家声称某件事为可能，他很可能是对的；当他说某件事不可能，则几乎确定他是错的。”这对数学家不成立。
当某个问题涉及大量的思考的可能性时，那通常没有实际的方法可以一个一个处理，你必须寻找某些共同的特征：一个不变量。
数学研究上一个标准的技巧：尝试将问题转化成逻辑上等同，但属于数学上另一领域的问题。新领域将允许使用新的技巧，对解决问题产生帮助。
一个用于证明的标准的技巧：将问题尽可能的分解成简单部分。
对于三等分角，近似的构造非常非常多，但都不是切切实实的三等分。不能使用二次根式表示任意三次方程的解，当方程可以分解出线性方程时可解，这里维度是不变量。
尺规作图的构建新点：两条直线的交点；直线和圆的交点；两圆的交点。
14.职业生涯
正规阶段：博士研究生（DXGS），有潜力的年轻研究者（PYR），有名声的研究者（ER），资深科学家（SS），大人物（GOP），退休导师（EG）。这整个过程和选择的知道教师有很大联系，最好是ER、SS、GOP。
异端分子：位于主流之外，对主流进行批判，...过气的异端份子很快就变成了大人物。
标准笑话：数学能力通常由父亲传给女婿（货现在是从母亲传给媳妇）。
15.纯数学或应用数学？
区分纯数学和应用数学毫无帮助，并且很快将变得不那么有道理。
纯数学融入逻辑和哲理里，而应用数学则融入物理学和工程数学之中。
在纯数学里，不允许走快捷方式或跳跃至未被证明的未正确的结论（不论看起来多么合理）。
回到欧拉和高斯的时代，没有人将数学分为内在结构和使用方式。
缺乏严谨性很少影响数学概念的立刻和直接应用。例如傅里叶分析和分形几何。测度理论解决了连续和可微问题，又成为概率理论的基础。
最重要的数学原创力来自和自然界的连结。
哈默斯利：通则从细节里抽取出来，因此最好先教细节，然后再进行抽象化。
分形的形状，像是蕨类植物和山脉，无论放大多少倍观察，仍具有非常细微的结构。
混沌是高度不规则的行为（例如天气），收到决定论定律的规范。复杂系统模仿大量数目的相对简单个体之间的互动，例如股票市场的交易员。
某些顽固的保守主义者明显对科学的进展不太清楚，因此仍然驳斥这些领域不具用任何重要性。他们恐怕落后这个世界约二十年之久。
约翰·巴罗：加入这个世界最深层是数学，则数学是对这个世界永不失败的比拟。
微分方程和时钟都是工具，都不是答案。它们产生作用的方法是，借着将原本的问题镶嵌在更广阔的脉络，获得一般的方法去理解脉络。此一般性改进了它们在他处的运用机会，这正是为何它们的有效性显得不可思议。
16.疯狂的想法怎么出现
数学研究的全部要求为：创新的头脑、有时间思考、有一个工作的地方、可以使用不错的图书馆、拥有一套好的计算机系统、一台复印机和宽带网网络。
爱德华·布尔沃—立顿：天才多必须做的事情，有天分的人做能做的事情。
有天分的人通常经历严格的训练，必须如此才能停留在所选择领域的顶端。
一些人相信，对学术生涯的发展而言，一旦表现出相当水准的能力之后，精力和动力就比天赋还来的要紧。
广泛阅读，让你的心智活跃，并时时留心周遭事物，当察觉某些有趣的事，便抓住机遇善加利用。
17.如何教数学
教数学会增进你自己的理解。
过了一段时日，你便知道的过多，因此可能过度尝试将全部所知和洞见一股脑灌输给学生，这是一个大错误。
只谈论主要论点，不要离题（不论他们对你多具吸引力，这样做需要学生了解不在教学大纲内的新观念）。
解题方法比细节重要，因为方法可以应用于许多类似的情况。
重点是不要跟学生说：“就是如此，不要问东问西，记住就对了。”
实际上，所有这些概念——加、减、乘——都是人类的创造。
四元数（-1有许多平方根，但某些代数规则不再适用）。
在通常情况下，当某个学生对教学大纲的某个部分面临学习障碍，真正的问题可能位于别处——课程的某一页或几年前的某一页。
数学的发展，乃是借着概念将过程转化为事物。
18.数学这个圈子
不过我们都是执著于某些事的怪人，不是吗？
你会发现社群是一个持续激励和支持的来源，遑论批评和建议。
数学家聚会，通常会一起喝咖啡。艾多斯说，数学家是将咖啡转化成定理的机器。
香肠猜想：如果球数少于或等于56个，应该排成一列形成一条“香肠”；但如果球数至少为57个，则应该堆栈成一团，像在网兜里的马铃薯。
19.猪和卡车
人都会犯错。聪明的人向犯错的人学习，以最不痛苦的方式从他人所犯的错误中很学习。
你在数学圈带得越久，将会难以避免犯下越多错误，这是经验老道之人得到经验的方式。
助理教授如果想在大学获得终身教职，就必须找出学校的要求和期望，并且满足这些要求和期望。
对于较资深的教授要小心谨慎和有礼貌，除非你有好的理由不必如此客气，或你想换个工作。对其他人也要客客气气，不论他们够格或不够格。如果你对某些决定或论点表有意义，则必须精确而清楚的表达你的观点，注意不要暗示和你相反的观点很愚蠢，即使那的确是愚蠢的看法。要遵守诺言，不论是在导师的班会时、学生答疑时、考试评分，或是出席国际数学家大会的大会演讲。如果你答应参加某个会议，则准时出席、聆听讨论并有所贡献（不要巨细靡遗）。请记住你是专业人士，就该表现得像专业人士。
每个大学教师都应该是个行政者；就某种程度而言，每个行政者也必须是个学者，特别是对高阶行政人员而言。
在任何一个委员会的讨论里，都有一个关键时刻可以让决议向正、反意见倾斜，这是发言的最佳时机。如果你太早提出论点，每一个人都会忘记你说了什么。如果够幸运，你或许可以及时作出提醒来加以补救；但如果*提出意见，通常也不会有任何效果。
当你已经成功说服他人后，不要在持续提及你的论点。只是持续述说每个人已经清楚明了的事情，或许会因此失去支持。如果你手上还有更多“子弹”，先省着以备接下来的需要。”
20.合作的乐趣和风险
只要每个作者都有贡献那就是公平的合作。
当前心理学家认为人脑的理智成分是建立在情绪的成分之上：首先必须从感情上承认要理性思考，然后才能进行理性思考。
一旦我们找出谁是对的之后，争执便立刻停止，而且不会存留任何剩余的怒气。
21.上帝是数学家吗？
像本轮或运动定律这样的心智构建，可以使深层的真实或机巧的幻象。科学工作为针对不同的思想，提供一个选择的过程，就像演化所使用的严格过程那样，可以淘汰不适合的部分。