一、卷积
卷积神经网络(Convolutional Neural Networks)是一种在空间上共享参数的神经网络。使用数层卷积，而不是数层的矩阵相乘。在图像的处理过程中，每一张图片都可以看成一张“薄饼”，其中包括了图片的高度、宽度和深度（即颜色，用RGB表示）。
在不改变权重的情况下，把这个上方具有k个输出的小神经网络对应的小块滑遍整个图像，可以得到一个宽度、高度不同，而且深度也不同的新图像。
卷积时有很多种填充图像的方法，以下主要介绍两种，一种是相同填充，一种是有效填充。
如图中紫色方框所示，左边是有效填充，右边是相同填充。在相同填充中，超出边界的部分使用补充0的办法，使得输入输出的图像尺寸相同。而在有效填充中，则不使用补充0的方法，不能超出边界，因此往往输入的尺寸大于输出的尺寸。
下图展示了以3x3的网格在28x28的图像上，使用不同步长、填充方法填充所得到的输出图像的尺寸：
下面借助两个动图来理解一下卷积的过程：
第一种是以3x3的网格在5x5的图像上进行有效填充的卷积过程：
第二种是使用3x3的网格在5x5图像上进行相同填充的卷积过程，动图在：http://cs231n.github.io/convolutional-networks/
回顾整个过程，就是一层一层地增加网络深度，最终得到一个又深又窄的表示，然后把其连接到全连接层，然后训练分类器。
二、局部连接与权重共享
总体而言，局部连接和权重共享都是减少参数的办法，使得特征提取更为有效。
上图中左半部分，是全连接神经网络的示例。图中是一个1000x1000的图像，下一隐藏层有$10^6$个神经元，那么就会有1000x1000x$10^6$=$10^{12}$个参数。
上图右半部分，是局部连接神经网络的示例。图中依然是一个1000x1000的图像，下一隐藏层有$10^6$个神经元，但是使用了一个10x10的卷积核，连接到了10x10的局部图像，那么则会有10x10x$10^6$=$10^8$个参数。
可见局部连接可以很大幅度减少参数的数量。
在实际应用中，有一些情况比较特殊，涉及到了统计不变性的问题。比如我们想识别图像中的动物类别，那么动物在图片中的位置（左上角、中间或是右下角）是不重要的，这叫平移不变性；再比如说，在识别数字的过程中，数字的颜色并不影响结果；又或者说，在语言处理中，一些词汇在句子中的位置并不影响其代表的含义。当两种输入可以获得同样的信息，那么我们就应该共享权重而且利用这些输入来共同训练权重。
在上图中的左半部分，是未使用权重共享的局部连接神经网络的示例。
在上图中的右半部分，则使用了权重共享。图中是一个1000x1000的图像，有100个10x10的卷积核，最终会有100x10x10=10k个参数。使用局部连接和权重共享都大大地减小了参数数量。而共享权重使得统计不变性问题得到了有效解决。
三、池化
通过卷积后，为了引入不变性，同时防止过拟合问题或欠拟合问题、降低计算量，我们常进行池化处理。池化过程如上图所示。因此池化过后，通常图像的宽度和高度会变成原来的1/2。
其中包括了Max pooling 、 Mean pooling和Stochastic pooling三种池化方法。
两种较为常用的是：Max pooling和Mean pooling。Max pooling是选择kernel范围之内的最大值；Mean pooling则是选择kernel范围之内的平均值。
四、LeNet-5中的卷积与池化分析
在LeNet-5中，输入层是32x32的尺寸。
在第一次卷积中，使用了6个卷积核，得到了C1:6张28x28的特征图。
然后进行下采样，得到S2:特征图宽、高变为原来的1/2，即28/2=14，特征图尺寸变为14x14，特征图张数不变。
再进行第二次卷积，使用了16个卷积核，得到了C3:16张10x10的特征图。
然后进行下采样，得到S4:特征图宽、高变为原来的1/2，即10/2=5，特征图尺寸变为5x5，特征图张数不变。
之后进入卷积层C5，120张1x1全连接后的特征图，与S4全连接。
本文图片及内容均参考或来自如下资料：
[1]Udacity的Deep Learning课程：https://cn.udacity.com/course/deep-learning--ud730
[2]Krizhevsky A, Sutskever I, Hinton G E. ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks[J]. Advances in Neural Information Processing Systems, 2012, 25(2):2012.
[3]Lecun Y, Bottou L, Bengio Y, et al. Gradient-based learning applied to document recognition[J]. Proceedings of the IEEE, 1998, 86(11):2278-2324.
[5]http://www.jeyzhang.com/cnn-learning-notes-1.html
[6]http://blog.csdn.net/stdcoutzyx/article/details/41596663
[7]CS231n: Convolutional Neural Networks for Visual Recognition
[8]http://ibillxia.github.io/blog/2013/04/06/Convolutional-Neural-Networks/
本文是个人的学习笔记，水平有限，如有疏漏，敬请指出，不胜感谢。