例14 丑数
问题描述
丑数是其质因子只可能是2，3或5的数。前10个丑数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12。输入一个正整数n，求第n个丑数。
输入格式
每行为一个正整数n (n <= 1500)，输入n=0结束。
输出格式
每行输出一个整数，表示求得的第n个丑数。
输入样例
1
2
50
0
输出样例
1
2
243
（1）编程思路。
根据丑数的定义，丑数从小到大排列的序列中的一个数应该是其前面某个数乘以2、3或者5的结果。因此，可以定义一个数组num[1501]来顺序保存序列中的丑数，数组里面的每一个元素的值是前面的某个元素值乘以2、3或者5得到。
问题的关键是怎样确保数组里面的各元素是按值的大小依次生成的。
假设数组中已经有若干个序列中的元素，排好序后存在数组中。把序列中现有的最大的数记做M。由于序列中的下一个数肯定是前面某一个数乘以2、3或者5的结果。首先考虑把已有的每个数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于数组中的元素是按照顺序生成的，小于或者等于M的数肯定已经在数组中了，不需再次考虑；还会得到若干个大于M的结果，但只需要第一个大于M的结果，因为数组中的元素是按值从小到大顺序生成的，其他更大的结果可以以后再说，记下得到的第一个乘以2后大于M的数M2。同样，把已有的每一个数乘以3和5，记下得到的第一个大于M的结果M3和M5。那么，序列中下一个数应该是M2、M3和M5三个数的最小者。
事实上，上面所说的把数组中已有的每个数分别都乘以2、3和5，是不需要的，因为已有的数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个数T2，排在它之前的每一个数乘以2得到的结果都会小于已有最大的数，在它之后的每一个数乘以2得到的结果都会太大。因此，只需要记下这个数的位置P2，同时每次生成一个新的序列中的数的时候，去更新这个P2。对乘以3和5而言，存在着同样的P3和P5。
定义变量index保存当前待生成的数在序列中的序号，显然，已生成的序列中的最大元素为Num[curIndex-1]。
定义3个指针变量int *p2,*p3,*p5;分别指向数组中的3个元素，排在所指元素之前的每一个数乘以2（或3、或5）得到的结果都会小于已有最大的数num[index-1]，在所指元素之后的每一个数乘以2（或3、或5）得到的结果都会太大。
初始时，num[1] = 1、index =2、p2 = p3 = p5 = &num[1]。
生成第index个元素的方法为：
if (*p2 * 2<*p3 * 3) min = *p2 * 2;
else min= *p3 * 3;
if (min> *p5 * 5) min=*p5 * 5;
num[index] = min;
第index个元素生成后，需要对指针p2、p3和p5进行更新，更新方法为：
if(num[index]==*p2*2) p2++;
if(num[index]==*p3*3) p3++;
if(num[index]==*p5*5) p5++;
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int num[1501],index,min,n;
int *p2,*p3,*p5;
p2=p3=p5=&num[1];
num[1]=1;
for (index=2;index<=1500;index++)
{
if (*p2 * 2<*p3 * 3) min = *p2 * 2;
else min= *p3 * 3;
if (min> *p5 * 5) min=*p5 * 5;
num[index] = min;
if(num[index]==*p2*2) p2++;
if(num[index]==*p3*3) p3++;
if(num[index]==*p5*5) p5++;
}
while(scanf("%d",&n) && n!=0)
{
printf("%d\n",num[n]);
}
return 0;
}
习题14
14-1 Hamming Problem
本题选自北大POJ 题库 （http://poj.org/problem?id=2545）
Description
For each three prime numbers p1, p2 and p3, let's define Hamming sequence Hi(p1, p2, p3), i=1, ... as containing in increasing order all the natural numbers whose only prime divisors are p1, p2 or p3.
For example, H(2, 3, 5) = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, ...
So H5(2, 3, 5)=6.
Input
In the single line of input file there are space-separated integers p1 p2 p3 i.
Output
The output file must contain the single integer - Hi(p1, p2, p3). All numbers in input and output are less than 10^18.
Sample Input
7 13 19 100
Sample Output
26590291
（1）编程思路。
弄明白了例14的编程思想，本题就简单了，无非是将例14中的质数2，3、5参数化为p1、p2和p3而已。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
long long p1,p2,p3,H[100005];
int n,i,a1,a2,a3;
while(scanf("%lld%lld%lld%d",&p1,&p2,&p3,&n)!=EOF)
{
H[0] = 1;
a1=a2=a3=0;
for (i = 1;i<=n;i++)
{
H[i] = p1*H[a1]<p2*H[a2]?p1*H[a1]:p2*H[a2];
if (H[i]>p3*H[a3]) H[i]=p3*H[a3];
if(H[i]==p1*H[a1]) a1++;
if(H[i]==p2*H[a2]) a2++;
if(H[i]==p3*H[a3]) a3++;
}
printf("%lld\n",H[n]);
}
return 0;
}
14-2 丑数 Humble Numbers
本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/ P2723）
题目描述
对于一给定的素数集合 S = {p1, p2, ..., pK}，考虑一个正整数集合，该集合中任一元素的质因数全部属于S。这个正整数集合包括，p1、p1*p2、p1*p1、p1*p2*p3...(还有其它)。该集合被称为S集合的“丑数集合”。注意：我们认为1不是一个丑数。
将丑数集合中每个数从小到大排列，每个丑数都是素数集合中的数的乘积，第N个“丑数”就是在能由素数集合中的数相乘得来的（包括它本身）第n小的数。
你的工作是对于输入的集合S去寻找“丑数集合”中的第N个“丑数”。
输入格式
第 1 行: 二个被空格分开的整数:K 和 N，1<= K<=100 ，1<= N<=100,000。
第 2 行: K 个被空格分开的整数:集合S的元素。
输出格式
单独的一行，输出对于输入的S的第N个丑数。所有输出答案可以用longint(32位整数)存储。
输入样例
4 19
2 3 5 7
输出样例
27
（1）编程思路。
本题在习题14-1的基础上更进一步，可以指定多个质数，这些质数来自集合S。因此在习题14-1的基础上，用数组p[101]来代替p1、p2和p3，采用循环处理即可。具体参见源程序。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
int p[101],a[101],H[100005];
int k,n,i,j;
scanf("%d%d",&k,&n);
H[0] = 1;
for (i=1;i<=k;i++)
{
scanf("%d",&p[i]);
a[i]=0;
}
for (i = 1;i<=n;i++)
{
H[i] = p[1]*H[a[1]];
for (j=2;j<=k;j++)
if (H[i]>p[j]*H[a[j]]) H[i]=p[j]*H[a[j]];
for (j=1;j<=k;j++)
if(H[i]==p[j]*H[a[j]]) a[j]++;
}
printf("%d\n",H[n]);
return 0;
}
14-3 集合S
问题描述
一个集合S有如下元素：1是集合S的元素；若x是集合S的元素，则2x+1，3x+1也是集合S的元素。将集合S的元素按从小到大排列后，问第N个元素是多少？
输入格式
输入包含多个数据，每个数据为一个正整数N (1 <= N <= 10000000)。.
输出格式
对每个N，在单独一行输出集合S中第N个元素。
输入样例
100
254
输出样例
418
1461
（1）编程思路。
这道习题和例14的解题思路是完全一样的。两个指针p2和p3从0开始起头并进，一个表示 x2+1，另一个表示x3+1，哪个小前进哪个，如果两个相等就都前进。这样就可以产生出递增的不重复的序列。
定义数组int num[10000001]保存产生的这个序列的前10000000项，这样输入n后，直接输出数组元素num[n]即可。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int num[10000001];
int main()
{
int p2,p3,i,min,n;
num[1]=1;
p2=p3=1;
i=1;
while(i<10000000)
{
min=2*num[p2]+1;
if (min>3*num[p3]+1) min=3*num[p3]+1;
num[++i]=min;
if(num[i]==2*num[p2]+1) p2++;
if(num[i]==3*num[p3]+1) p3++;
}
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
printf("%d\n",num[n]);
}
return 0;
}