硬币问题
有n种硬币，面值分别为V1，V2，...,Vn，每种都有无限多。给定非负整数S，可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的最小值和最大值。1<=n<=100, 0<=S<=10000,1<=Vi<=S.
分析：
我们把每种面值看做一个点，表示“还需要凑足的面值”，则初始状态为S，目标状态为0.若当前在状态 i ，每使用一个硬币j ，状态便转移到 i-Vj .
注意到最长路和最短路的求法是类似的，下面只考虑最长路。由于终点固定，d(i)的确切含义变为“从结点i出发到结点0的最长路径长度”
在记忆化搜索中，如果用特殊值表示“还没算过”，则必须将其和其他特殊值（比如无解）区分开。
也可以不用特殊值表示还没算过，而是用另外一个数组vis[i]表示状态i “是否被访问过”
记忆化搜索代码如下：
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = , maxv = ;
int n, S, v[maxn], mind[maxv], maxd[maxv];
int dp1(int s) //最小值
{
int &ans = mind[s];
if(ans != -) return ans;
ans = <<;
for(int i = ; i <= n; ++i) if(v[i] <= s) ans = min(ans, dp1(s-v[i])+);
return ans;
}
int vis[maxv];
int dp2(int s) //最大值
{
if(vis[s]) return maxd[s];
vis[s] = ;
int &ans = maxd[s];
ans = -<<;
for(int i = ; i <= n; ++i) if(s >= v[i]) ans = max(ans, dp2(s-v[i])+);
return ans;
}
void print_ans(int* d, int s) //打印的是边
{
for(int i = ; i <= n; ++i) if(v[i] <= s && d[s-v[i]]+ ==d[s])
{
printf("%d ",i);
print_ans(d, s-v[i]);
break;
}
}
int main()
{
freopen("9-3.in", "r", stdin);
scanf("%d%d", &n, &S);
for(int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", v+i);
memset(mind, -, sizeof(mind));
mind[] = ;
printf("%d\n", dp1(S));
print_ans(mind, S);
printf("\n");
memset(maxd, -, sizeof(maxd));
memset(vis, , sizeof(vis));
maxd[] = ;
vis[] = ;
printf("%d\n", dp2(S));
print_ans(maxd, S);
printf("\n");
return ;
}
递推代码如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = , maxv = , INF = ;
int v[maxn], S, n, maxf[maxv], minf[maxv], min_coin[maxv], max_coin[maxv];
void print_ans(int *d, int s){
while(s){
printf("%d ", d[s]);
s-=v[d[s]];
}
}
int main(){
freopen("9-3.in", "r", stdin);
scanf("%d%d", &n, &S);
for(int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", &v[i]);
for(int i = ; i <= S; ++i) {
//最应注意的是边界条件、初始化，因为递推作为重点一般不会写错，就是在这种细节处出错
maxf[i] = -INF;
minf[i] = INF;
}
maxf[] = minf[] = ;
for(int i = ; i <= S; ++i)
for(int j = ; j <= n; ++j) if(i >= v[j]){
if(maxf[i-v[j]] + > maxf[i]){
maxf[i] = maxf[i-v[j]] + ;
max_coin[i] = j;
}
if(minf[i-v[j]] + < minf[i]){
minf[i] = minf[i-v[j]] + ;
min_coin[i] = j;
}
}
printf("%d\n", minf[S]);
print_ans(min_coin, S);
printf("\n");
printf("%d\n", maxf[S]);
print_ans(max_coin, S);
printf("\n");
return ;
}
不必打印路径代码：
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
const int maxn = , maxv = , INF = ;
int n, S, v[maxn], min[maxv], max[maxv];
int main(){
scanf("%d%d", &n, &S);
for(int i = ; i <= n; ++i) scanf("%d", v+i);
min[] = max[] = ;
for(int i = ; i <= S; ++i) {min[i] = INF; max[i] = -INF;}
for(int i = ; i <= S; ++i)
for(int j = ; j <= n; ++j) if(v[j] <= i){
if(min[i-v[j]] + < min[i]) min[i] = min[i-v[j]] + ;
if(max[i-v[j]] + > max[i]) max[i] = max[i-v[j]] + ;
}
printf("%d\n", min[S]);
printf("%d\n", max[S]);
return ;
}