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基于霍夫变换和广义霍夫变换的目标检测
上节讨论了基于阈值处理的目标检测，今天就来讨论下基于霍夫投票的目标检测，霍夫投票打算分成两个小节，第一个小节简单的说下霍夫变换和广义霍夫变换（generalized hough transform），他们投票的权重都是相等的，下一节讨论概率空间中的霍夫投票，顾名思义他们的投票权重是不确定的。
先来看下霍夫变换（hough transform）,霍夫变换一般适用于有解析表达式的几何形状目标检测，例如直线、圆、椭圆等。用个统一的解析表达式来表达他们：f(x,alpha)=0,其中x 是图形上点，alpha则是解析表达式参数，比如欧式坐标系中直线的参数就是斜率m和截距c(或者极坐标系中的theta和ρ)，圆的参数则是原点和半径。霍夫变换的核心就是把图像空间的直线变换到参数空间（也叫霍夫空间），比如一个直线y=mx+c,给定一个点（x’,y’），把它代入直线方程，得到y’=mx’+c,其实此时仍然是一条直线（在参数空间的直线，斜率是-x’,截距是y’），图像空间和霍夫空间的对应关系如（图一）所示：
（图一）
（图一）中左图是图像空间，右图是霍夫空间（参数空间），对于图像空间中线段pq上任意一点带入直线方程后，都可以在霍夫空间中得到另外一条直线，二者是对偶的，比如如（图一）所示，把两个端点带入后，在右图中得到的两个对偶直线，而且斜率是负的。现在问题来了，机器是怎么知道pq是一条直线（假设还有其他噪声点存在的话）？我们不知道斜率也不知道截距，我们要做的就先假设图像中有一条直线，其方程为y=mx+c,我们要求他的参数，然后把图像空间中的每个点都代入直线方程，然后在霍夫空间里都产生了一条对偶直线，因为图像空间中的那条直线上的点共用一个斜率m和截距c,因此他们的对偶直线必然相交于一点，也就是说m,c的值是唯一的，在右图中也能体现出来。
直线的霍夫变换检测核心思想就是这些，但是考虑到斜率截距式直线表示法不能表示所有直线，比如直线X=CONSTANT时，斜率无线大，霍夫空间里无法表示此点，因此我们把直线方程转换成极坐标表示的形式：
，思想还是一样，区别就是把参数m,c转换成了theta和ρ），另外图像空间中的点对应的霍夫空间的几何形状不是直线，而是曲线，如（图二）所示：
（图二）
（图二）中右图的亮点就是我们要求的参数，但是怎么求的，求交点？那也太麻烦了，霍夫投票方法此时就要登场了，你霍夫空间中的曲线也是个图像嘛，我有的是内存，对于个曲线上的每个点我都用一个字典来表示你们，字典索引就用霍夫空间的坐标（theta和ρ）来检索，字典的值表示该坐标上有多少个曲线点（字典的学名叫累加器：accumulator）。对于（图二）中的那个亮点对应的字典值肯定很大，其实我们就是找大的最大值，峰值表示图像空间中的很多点共用一个参数。该算法的实现步骤如下伪代码所示：
For each edge pixel (x,y) in image
For θ= -90 to 90
ρ= x cosθ+ y sin θ
++ H(iθ, jρ);
end
end
直观来说就是你给我一个图像空间中的点，我就在霍夫空间中计算很多字典，然后相同位置上加1，简单的说就是把霍夫空间分割了，分割的越精细越好，但是分的越细计算量也越大，毕竟图像点很多，这个平衡读者根据情况自己把握吧。累加器的示意图如（图三）所示：
（图三）
圆和椭圆也都是类似步骤，只不过圆有三个参数，而椭圆有5个参数，计算量更大。此算法实现在OpenCV里也有，直接调用一个函数即可，在此不多说，直接给一个OpenCV自带的图像进行检测直线的结果和他的霍夫空间示意图，如（图四）和（图五）所示：
（图四）
（图五）
（图五）霍夫空间中的峰值点可能不严格的在同一个坐标上，也就说图像空间中直线上的点并不严格的在同一直线上，我们要容许一部分误差的存在，判断峰值点是个技巧活。
下面进入广义霍夫变换(Generalized Hough Transform)。
前面也说了，霍夫变换只适用于具有解析表达式的形状，对于一般形状则无能为力，一般形状没有解析表达式，没有解析表达式，那我们怎么进入霍夫空间里呢？没有霍夫空间，那我们怎么投票？不投票怎么来检测物体？有条件就上，没条件创造条件也要上
。一般物体虽然没有解析表达式，但是他们有边缘，说的多一些，MARR教授一开始就说边缘是人眼检测判断物体的重要条件之一，所以计算机视觉早期出现了很多边缘检测算法。有了边缘就可以创造出切向量，切向量可以做参数吗？仔细考虑一下，信息太少，ballard在1980年提出了广义霍夫变换(generalized hough transform),它利用了如（图六）所示的参数：
（图六）
（图六）中的alpha表示参数，可以看出参数很多，参数空间肯定是高维的，不过不管他多少维，方法和上面类似，参数空间中投票嘛，考虑到这个方法选择了一个参考点，把图像中的点到参考点的距离和相对方位信息作为参数来检测物体，细心的同学可能感觉出来了，他和Hu moment（Hu矩）有些相似的地方，他们都需要一些模版来提取形状参数，但是它比Hu moment用到的信息多，而且是在霍夫空间中投票，可以抵抗一些噪声、遮挡因素的影响，因此他的鲁棒性更好。投票流程如（图七）所示，其中A[a]为投票字典（累加器）：
（图七）
它的检测效果如（图八）所示：
（图八）
这节算是做个铺垫吧，为下节的霍夫投票在计算机视觉中的应用打下基础，因为今天的投票是“公平”的，每票的权重都一样，当遇到复杂问题时，比如部件的参数去投票时，权重需要区分对待，这些放在下个小节来说。广义霍夫变换的代码网上也有，如搜不到的同学想要的话，可以留言索取。
参考文献：
GENERALIZING THE HOUGH TRANSFORM TO DETECTARBITRARY SHAPES
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