1、基本概念
（1）量子遗传算法是量子计算与遗传算法相结合的智能优化算法，由K.H.Han等人提出，其将量子态、量子门、量子状态特性、概率幅等量子概念引入到遗传算法当中。量子遗传算法也是一种概率搜素算法，它采用量子位来表示基因。遗传算法的基因所表达的是某一确定的信息，而量子遗传算法中，由于量子信息的叠加性使量子位所表达的基因包含所有可能的信息。
（2）在量子计算中，量子比特｜0〉和｜1〉表示微观粒子的两种基本状态，根据叠加原理，量子信息的叠加态可以表示为这两个基本态的线性组合，即｜ψ〉=α｜0〉+β｜1〉，式中α和β为复数，表示量子位状态的概率幅，其中和分别表示量子态｜ψ〉因测量导致坍缩到｜0〉态和｜1〉态的概率，且满足的归一化条件
（3）在量子遗传算法中，染色体采用量子位的概率幅进行编码，编码方案如下：
θ为量子比特的相位，n为染色体数目，k为量子位的位数即解空间的维数，rand是[0,1]范围内的随机数。每个量子位为分上下两行，分别对应两个量子基本态的概率幅，满足归一化条件，因此每个个体包含上下两条文化基因链，每条基因链是优化问题的一个候选解。由此可知，量子遗传算法在种群规模不变的情况下，候选解个数比遗传算法多一倍，增加了解空间的多样性，提高了寻优成功的概率。
（4）在量子遗传算法中，采用量子旋转门改变量子比特相位，以更新量子位的概率幅，从而达到基因变异的效果。
2、量子遗传算法的基本步骤：
step1：初始化父代染色体
step2：对每个染色体基因位即量子位进行测量，得到一个状态。对每个状态计算适应度，记录最佳个体及适应度。
step3：遗传进化设定的代数，其中采用量子旋转门对每一代染色体进行遗传变异。
step4：达到终止条件，输出最佳个体及适应度。
3、量子遗传算法的MATLAB实现代码如下
clear all;
close all;
%------------------------变量部分---------------------
popsize = 100; %种群规模
vartotal = 2; %变量个数即一条染色体的量子位数
shiftstep = 0.01*pi; %转角步长
Pm = ones(1,popsize)*0.05;%设置变异概率
maxgen = 500; %设置迭代次数
%------数组部分--解空间的优化变量的取值范围------------
var_range(1,1) = -100;
var_range(1,2) = 100;
var_range(2,1) = -100;
var_range(2,2) = 100;
%--------------------染色体初始化----------------------
% 初始化了2*popsize条染色体，其中每条染色体两条基因链
for i=1:1:vartotal
fai(:,i)=2*pi*rand(popsize,1);
chrom(:,1,i)=cos(fai(:,i));
chrom(:,2,i)=sin(fai(:,i));
oldfai(:,i)=2*pi*rand(popsize,1);
oldchrom(:,1,i)=cos(oldfai(:,i));
oldchrom(:,2,i)=sin(oldfai(:,i));
end
%--------------------解空间变换-------------------------
for i=1:1:2
for j=1:1:vartotal
chromx(:,i,j)=0.5*(var_range(j,2)*(1+chrom(:,i,j))+var_range(j,1)*(1-chrom(:,i,j)));
oldchromx(:,i,j)=0.5*(var_range(j,2)*(1+oldchrom(:,i,j))+var_range(j,1)*(1-oldchrom(:,i,j)));
end
end
%-----------计算适应度---适应度函数：Shaffer's F6函数-------------
for i=1:1:popsize
for j=1:1:2
x1=chromx(i,j,1);
x2=chromx(i,j,2);
fitness(i,j)=0.5-((sin(sqrt(x1^2+x2^2)))^2-0.5)/(1+0.001*(x1^2+x2^2))^2;
x1=oldchromx(i,j,1);
x2=oldchromx(i,j,2);
oldfitness(i,j)=0.5-((sin(sqrt(x1^2+x2^2)))^2-0.5)/(1+0.001*(x1^2+x2^2))^2;
end
end
%----------------------获得最优解及相应自变量----------------------
[Bestf,Indexf]=sort(fitness,2);
[BestF,IndexF]=sort(Bestf,1);
gBestfit=BestF(popsize,2);
gBestpop=IndexF(popsize,2);
gBestg=Indexf(gBestpop,2);
gBestfai=fai(gBestpop,:);
gBestC=chrom(gBestpop,:,:);
gBest_x=chromx(gBestpop,:,:);
gBest_fit=fitness(gBestpop,:);
%----------------------------主循环开始-----------------------------
for gen = 1:1:maxgen
for i = 1:1:vartotal
tmp=abs(chromx(1,gBestg,i)-oldchromx(1,gBestg,i));
if tmp<1.0e-2
tmp=1.0e-2;
end
max(i)=abs(fitness(1,gBestg)-oldfitness(1,gBestg))/tmp;
for j = 1:1:popsize
tmp=abs(chromx(j,gBestg,i)-oldchromx(j,gBestg,i));
if tmp<1.0e-2
tmp=1.0e-2;
end
if max(i)<abs(fitness(j,gBestg)-oldfitness(j,gBestg))/tmp
max(i)=abs(fitness(j,gBestg)-oldfitness(j,gBestg))/tmp;
end
if min(i)>abs(fitness(j,gBestg)-oldfitness(j,gBestg))/tmp
min(i)=abs(fitness(j,gBestg)-oldfitness(j,gBestg))/tmp;
end
end
end
%---------------执行量子位相位旋转，得到新的相位--------------------
for i=1:1:popsize
for j = 1:1:vartotal
tmp=abs(chromx(i,gBestg,j)-oldchromx(i,gBestg,j));
if tmp<1.0e-2
tmp=1.0e-2;
end
grad=abs(fitness(i,gBestg)-oldfitness(i,gBestg))/tmp;
tmp=abs(grad-min(j));
if tmp<1.0e-2
tmp=1.0e-2;
end
rate(i,j)=tmp/abs(max(j)-min(j));
fai(i,j)=fai(i,j)+sign(chrom(i,1,j)*gBestC(1,2,j)-gBestC(1,1,j)*chrom(i,2,j))*(1-rate(i,j))*shiftstep*exp(-gen/maxgen);
end
end
%-----------------执行量子位相位变异--------------------------
Pm_rand = rand(popsize,vartotal);%生成随机数，与变异概率比较，决定是否变异
for i=1:1:popsize
for j=1:1:vartotal
if (Pm(i)>Pm_rand(i,j))&&(i==gBestpop)
fai(i,j)=0.5*pi-fai(i,j);
end
end
end
%-----------------代间复制------保存的是相邻两代：父代和子代染色体-------
oldchrom=chrom;
oldchromx=chromx;
oldfitness=fitness;
%---------------生成新的量子染色体-----------------
chrom(:,1,:)=cos(fai(:,:));
chrom(:,2,:)=sin(fai(:,:));
%---------------解空间变换-----------------------
for i=1:1:2
for j=1:1:vartotal
chromx(:,i,j)=0.5*(var_range(j,2)*(1+chrom(:,i,j))+var_range(j,1)*(1-chrom(:,i,j)));
end
end
%-----------计算适应度---适应度函数：Shaffer's F6函数-------------
for i=1:1:popsize
for j=1:1:2
x1=chromx(i,j,1);
x2=chromx(i,j,2);
fitness(i,j)=0.5-((sin(sqrt(x1^2+x2^2)))^2-0.5)/(1+0.001*(x1^2+x2^2))^2;
end
end
%----------------------获得最优解及相应自变量----------------------
[Bestf,Indexf]=sort(fitness,2);
[BestF,IndexF]=sort(Bestf,1);
Bestfit=BestF(popsize,2);
Bestpop=IndexF(popsize,2);
Bestg=Indexf(Bestpop,2);
Bestfai=fai(Bestpop,:);
BestC=chrom(Bestpop,:,:);
Best_x=chromx(Bestpop,:,:);
Best_fit=fitness(Bestpop,:);
Badpop=IndexF(1,1);
%-----------------若最优解退化则取回上代最优解------------------
if Bestfit<gBestfit
Bestfit=gBestfit;
fai(Badpop,:)=gBestfai(1,:);
chrom(Badpop,:,:)=gBestC(1,:,:);
chromx(Badpop,:,:)=gBest_x(1,:,:);
fitness(Badpop,:)=gBest_fit(1,:);
gBestpop=Badpop;%最差染色体号变成了最好
end
%---------------若最优解进化则将最优解替换------------------
if Bestfit>=gBestfit
gBestfit=Bestfit;
gBestpop=Bestpop;
gBestg=Bestg;
gBestfai=Bestfai;
gBestC=BestC;
gBest_x=Best_x;
gBest_fit=Best_fit;
end
%---------------------记录优化结果---------------------
result(gen)=gBestfit;
iteration(gen)=gen;
if result(gen)>0.995
break;
end
end
%-----------------主循环结束-------------------
bestresult=result(gen);
iterationstep=iteration(gen);
bestresult
iterationstep
gBestg
figure(1)
plot(iteration,result)
运行结果如下图所示
