今天和大家分享coursera-NTU-機器學習基石(Machine Learning Foundations)-作业三的习题解答。笔者在做这些题目时遇到非常多困难，当我在网上寻找答案时却找不到，而林老师又不提供答案，所以我就想把自己做题时对题目怎样思考的写下来，为大家提供一些思路。当然，我对题目的理解不一定是正确的，假设各位博友发现错误请及时留言联系。谢谢！再次提醒：请不要以此博客作为通过考试的用途，还是更好学习、理解课程的途径！
希望我的博客对您的学习有所帮助！
本文出处：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51103628
其它作业解析请看汇总贴：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51085129
第三次作业林老师主要讲了四大块内容:
1.线性回归（Linear Regression）：线性回归方程 。错误计算方法为square error。參数w计算方法。pseudo-inverse，线性回归实现步骤等
2.逻辑回归（Logistic Regression）:逻辑回归理论，错误计算方法cross entropy error。梯度下降法求最优解并推到逻辑回归的梯度下降公式
3.线性模型（Linear Model for Classification）:证明了线性回归和逻辑回归也能用于线性分类（VC bound）,随机梯度下降法（Stochstic）。多类别分类OVA,OVO
4.非线性转化（Noliear Transformation）:介绍了怎样把低维空间内的高次曲线化为高纬空间内的线性分类，并说明他的局限性（转换代价大）
1.第一题
（1）题意：在目标函数f上加入噪声epsilon，噪声强度为sigma^2。Ein的计算公式也已经给出。
求给定sigma=0.1。d=8时。能使Ein大于0.008的最小样本数N
（2）分析：这是一道非常普通的计算题，把值带入计算能够了
（3）答案：100
2.第二题
（1）题意：hat marix H的定义已经给出，求五项陈述哪些是正确的
（2）分析：老师在上课的时候说过H的作用是将y从N维空间投影到X召开得到的d+1维度空间上。（I-H）是指y与展开平面的垂直距离。对角线trace(I-H) = N-(d+1)
a.H是半正定的。正确。理由博主也不知道
b.H是可逆的，错误。博主个人认为是错的
c.H的一些特征值可能大于1。错误。半正定矩阵的特征值小于等于1
d.个人认为是正确的。
trace(I-H)=N-(d+1)
e.正确。由于H的作用是把y投影到hat y，那么无论投影几次都是不变的
（3）答案：none of above
3.第三题
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（1）题意：求以下哪个式子是题中式子的上限？
（2）分析：做出这六个Error的图例如以下所看到的
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能够看到，仅仅有第五个是他的上限
（3）答案：max(0,1-ywx) ^ 2
4.第四题
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（1）题意：下列哪些不是对w到处可微的
（2）分析：非常显然，max(0,-ywx)在0出不是可微的。左导数为-1。右导数为0
（3）答案：最后一项
（1）题意：利用随机梯度下降法计算下列错误函数。忽略个别不可微的点，以下哪个结果是PLA
（2）分析：
（3）答案： max(0,-ywx)
6.第六题
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（1）题意：求E在（0，0）附近的梯度
（2）分析：非常easy。分别求E对u。v的偏倒数，然后将（0，0）带入就可以
（3）答案：（-2，0）
7.第七题
（1）题意：利用上面的梯度下降公式。从(0,0)開始迭代，步长为0.01，求迭代五次后的错误E
（2）分析：这个太简单了，随便用C或者MATLAB写个算法就能够了。博主这里就不再累述
（3）答案：2.825
8.第八题
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（1）题意：这里讲的是二元泰勒展开
（2）分析：二元泰勒展开公式为http://wenku.baidu.com/link?
url=TFtNo_C9OV4MqsshuXz6yfMnjf-2A4-94zMsSS5qYepqhniR2aL6UbN3yjsCrMdFPY4_Zt2andPoxV0GII3b3QjBom1Xdmb-8cZyUgv-A3S
带入计算就可以。
注意与各项的相应关系。
（3）答案：（1.5，4，-1，-2，0，3）
9.第九题
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（1）题意：利用Hessian Matrix计算牛顿方向
（2）分析：Hessian Matrix见http://baike.baidu.com/link?url=zCgekuYg4ViCDXyjWlpQZPEfGXZoUGl7bP8lpe_N6ww7bSeLqyyIKdUORTVaBdjw9KBhIXJmCmL2s5ZDEIb2y_
Newton迭代见http://blog.csdn.net/luoleicn/article/details/6527049
（3）答案：第一项
10.第十题
（1）题意：利用牛顿迭代求迭代五次后E值
（2）分析：我们已经从第9题知道了牛顿方向，自己用MATLAB写一个简单的实现就能够了，这里就不再累述
（3）答案：2.361 (能够看到，牛顿迭代五次为2.361，梯度下降五次为2.825，说明牛顿迭代更快！
)
11.第十一题
（1）题意：求可以被全部二次+一次曲线shatter的最小x的集合
（2）分析：
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利用途中六条线能够轻松shatter
（3）答案：x1,x2,x3,x4,x5,x6
12.第十二题
（1）题意：利用上面的式子将d维度的X空间转换为Z空间。求转换后的d_vc
（2）分析：增加X有N个点。则每个点利用[x = xn]都能转化为一个维度的z,那么转换后终于得到的Z空间的维度为N。
我们要做的是在Z空间进行二元分类，因为我们曾经课程t推导过，d为空间的感知机（perceptrons）的d_vc = d+1。那么Z空间得到的d_vc = N +1 。那么对于随意N个点都是能够被shatter的。故N取随意大，d_ve = N+1，随意大的N都是能够被shatter的，所以d_vc = 无穷
（3）答案：无穷
第十三题到第十五题的C++实现请看：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51085094
16.第十六题
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（1）题意：这道题说的是多元逻辑回归的代价函数推导。
（2）分析：这道题笔者也不太懂。然后在百度上查找资料。国内站点上好像没有太多写多元逻辑回归的文章。所以我在一个国外的站点上找到了相关资料，然而并没有看到推导过程。网址为：http://blog.datumbox.com/machine-learning-tutorial-the-multinomial-logistic-regression-softmax-regression/ 。他是依据吴恩达的那套理论做的。当中J(theta)就是我们这里所说的Ein。
（3）答案：第二项
17.第十七题
、
（1）题意：这道题的意思是我们从16中知道了Ein的计算方法，就他对wi的偏导数
（2）分析：求导就可以
（3）答案：第四项
18. 第18-20题的C++实现请看：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51085835
本文出处：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51103628
其它问题解答请看汇总贴：http://blog.csdn.net/a1015553840/article/details/51085129