ID
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Origin
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Title
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20 / 60 | Problem A | HDU 3507 | Print Article | |
13 / 19 | Problem B | HDU 2829 | Lawrence | |
1 / 5 | Problem C | HDU 4528 | 小明系列故事――捉迷藏 | |
5 / 6 | Problem D | HDU 1300 | Pearls | |
0 / 42 | Problem E | HDU 2993 | MAX Average Problem | |
1 / 20 | Problem F | UVALive 5097 | Cross the Wall | |
5 / 12 | Problem G | HDU 3045 | Picnic Cows | |
2 / 4 | Problem H | HDU 3516 | Tree Construction | |
3 / 4 | Problem I | POJ 1160 | Post Office | |
3 / 5 | Problem J | POJ 1180 | Batch Scheduling | |
3 / 3 | Problem K | POJ 2018 | Best Cow Fences | |
2 / 4 | Problem L | POJ 3709 | K-Anonymous Sequence | |
Problem M | POJ 2841 | Navigation Game | ||
2 / 2 | Problem N | POJ 1260 | Pearls | |
2 / 4 | Problem O | UVA 12594 | Naming Babies | |
3 / 4 | Problem P | HDU 3480 | Division | |
1 / 1 | Problem Q | UVALive 6771 | Buffed Buffet |
20 / 60 Problem A HDU 3507 Print Article
此题是很基础的斜率DP的入门题。
题意很清楚,就是输出序列a[n],每连续输出的费用是连续输出的数字和的平方加上常数M
让我们求这个费用的最小值。
设dp[i]表示输出前i个的最小费用,那么有如下的DP方程:
dp[i]= min{ dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2 +M } 0<j<i
其中 sum[i]表示数字的前i项和。
相信都能理解上面的方程。
直接求解上面的方程的话复杂度是O(n^2)
对于500000的规模显然是超时的。下面讲解下如何用斜率优化DP使得复杂度降低一维。
我们首先假设在算 dp[i]时,k<j ,j点比k点优。
也就是
dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M <= dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+M;
所谓j比k优就是DP方程里面的值更小
对上述方程进行整理很容易得到:
[(dp[j]+sum[j]*sum[j])-(dp[k]+sum[k]*sum[k])] / 2(sum[j]-sum[k]) <=sum[i].
注意整理中要考虑下正负,涉及到不等号的方向。
左边我们发现如果令:yj=dp[j]+sum[j]*sum[j] xj=2*sum[j]
那么就变成了斜率表达式:(yj-yk)/(xj-xk) <= sum[i];
而且不等式右边是递增的。
所以我们可以看出以下两点:我们令g[k,j]=(yj-yk)/(xj-xk)
第一:如果上面的不等式成立,那就说j比k优,而且随着i的增大上述不等式一定是成立的,也就是对i以后算DP值时,j都比k优。
那么k就是可以淘汰的。
第二:如果 k<j<i 而且 g[k,j]>g[j,i] 那么 j 是可以淘汰的。
假设 g[j,i]<sum[i]就是i比j优,那么j没有存在的价值
相反如果 g[j,i]>sum[i] 那么同样有 g[k,j]>sum[i] 那么 k比 j优 那么 j 是可以淘汰的
所以这样相当于在维护一个下凸的图形,斜率在逐渐增大。
通过一个队列来维护。
/*
HDU 3507 */ #include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN=; int dp[MAXN];
int q[MAXN];//队列
int sum[MAXN]; int head,tail,n,m;
// dp[i]= min{ dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2 };
int getDP(int i,int j)
{
return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
} int getUP(int j,int k) //yj-yk部分
{
return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
}
int getDOWN(int j,int k)
{
return *(sum[j]-sum[k]);
} int main()
{
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
while(scanf("%d%d",&n,&m)==)
{
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d",&sum[i]);
sum[]=dp[]=;
for(int i=;i<=n;i++)
sum[i]+=sum[i-];
head=tail=;
q[tail++]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
//把斜率转成相乘,注意顺序,否则不等号方向会改变的
while(head+<tail && getUP(q[head+],q[head])<=sum[i]*getDOWN(q[head+],q[head]))
head++;
dp[i]=getDP(i,q[head]);
while(head+<tail && getUP(i,q[tail-])*getDOWN(q[tail-],q[tail-])<=getUP(q[tail-],q[tail-])*getDOWN(i,q[tail-]))
tail--;
q[tail++]=i;
}
printf("%d\n",dp[n]);
}
return ;
}
13 / 19 Problem B HDU 2829 Lawrence
斜率DP
设dp[i][j]表示前i点,炸掉j条边的最小值。j<i
dp[i][j]=min{dp[k][j-1]+cost[k+1][i]}
又由得出cost[1][i]=cost[1][k]+cost[k+1][i]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])
cost[k+1][i]=cost[1][i]-cost[1][k]-sum[k]*(sum[i]-sum[k])
代入DP方程
可以得出 y=dp[k][j-1]-cost[1][k]+sum[k]^2
x=sum[k].
斜率sum[i]
可以用斜率优化,也可以用四边形不等式优化,四边形不等式我在前面已经写了。
下面是斜率优化的代码
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=;
int a[MAXN];
int sum[MAXN];
int cost[MAXN];//cost[1][i]
int q[MAXN];
int head,tail;
int n,m;
int dp[MAXN][MAXN]; int DP()
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
dp[i][]=cost[i];
dp[i][i-]=;
}
for(int j=;j<=m;j++)
{
head=tail=;
q[tail++]=j;
for(int i=j+;i<=n;i++)
{
while(head+<tail)
{
int p1=q[head];
int p2=q[head+];
int x1=sum[p1];
int x2=sum[p2];
int y1=dp[p1][j-]-cost[p1]+sum[p1]*sum[p1];
int y2=dp[p2][j-]-cost[p2]+sum[p2]*sum[p2];
if((y2-y1)<=sum[i]*(x2-x1)) head++;
else break;
}
int k=q[head];
dp[i][j]=dp[k][j-]+cost[i]-cost[k]-sum[k]*sum[i]+sum[k]*sum[k];
while(head+<tail)
{
int p1=q[tail-];
int p2=q[tail-];
int p3=i;
int x1=sum[p1];
int x2=sum[p2];
int x3=sum[p3];
int y1=dp[p1][j-]-cost[p1]+sum[p1]*sum[p1];
int y2=dp[p2][j-]-cost[p2]+sum[p2]*sum[p2];
int y3=dp[p3][j-]-cost[p3]+sum[p3]*sum[p3];
if((y2-y1)*(x3-x2)>=(y3-y2)*(x2-x1))tail--;
else break;
}
q[tail++]=i;
}
}
return dp[n][m];
} int main()
{
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
while(scanf("%d%d",&n,&m)==)
{
if(n==&&m==)break;
sum[]=;
cost[]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-]+a[i];
cost[i]=cost[i-]+sum[i-]*a[i];
}
printf("%d\n",DP()); }
return ;
}
c2.这个是先求破坏的最大值
/*
* 用dp[i][x]表示前i个点,炸掉x条边可以破坏的最大值
* 答案就是tol-dp[n][m]
* dp[i][x]=max{dp[j][x-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j])} x-1<j<i
* 假设在计算i时,k<j,j比k点优
* dp[k][x-1]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])<=dp[j][x-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j])
* 化简得 ( (sum[j]*sum[j]-dp[j][x-1])-(sum[k]*sum[k]-dp[k][x-1]) ) /(sum[j]-sum[k] <=sum[i]
*
* yj=sum[j]*sum[j]-dp[j][x-1] xj=sum[j]
* (yj-yk)/(xj-xk)<=sum[i]
* 右边不等式是递增的
* g[k,j]=(yj-yk)/(xj-xk)
* 上述不等式成立说明j比k优
* 如果k<j<i g[k,j]>g[i,j]那么k可以淘汰
* 如果g[j,i]<sum[i] j可以淘汰
*
*
*/ #include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=;
int n,m;
int a[MAXN];
int sum[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int tol;
int getDP(int i,int x,int j)
{
return dp[j][x-]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]);
}
int getUp(int j,int x,int k)
{
return sum[j]*sum[j]-dp[j][x-]-(sum[k]*sum[k]-dp[k][x-]);
}
int getDown(int j,int k)
{
return sum[j]-sum[k];
}
int q[MAXN];
void solve()
{
memset(dp,,sizeof(dp));
int front,rear;
for(int x=;x<=m;x++)
{
rear=front=;
q[rear++]=x;
for(int i=x+;i<=n;i++)
{
while(front+<rear && getUp(q[front+],x,q[front])<=sum[i]*getDown(q[front+],q[front]))
front++;
dp[i][x]=getDP(i,x,q[front]);
while(front+<rear && getUp(i,x,q[rear-])*getDown(q[rear-],q[rear-])<=getUp(q[rear-],x,q[rear-])*getDown(i,q[rear-]))
rear--;
q[rear++]=i;
}
}
printf("%d\n",tol-dp[n][m]);
}
int main()
{
// freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
while(scanf("%d%d",&n,&m)==)
{
if(n== && m==)break;
sum[]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-]+a[i];
}
tol=;
for(int i=n;i>;i--)
tol+=a[i]*sum[i-];
solve();
}
return ;
}
1 / 5 Problem C HDU 4528 小明系列故事――捉迷藏
5 / 6 Problem D HDU 1300 Pearls
0 / 42 Problem E HDU 2993 MAX Average Problem
1 / 20 Problem F UVALive 5097 Cross the Wall
5 / 12 Problem G HDU 3045 Picnic Cows
2 / 4 Problem H HDU 3516 Tree Construction
3 / 4 Problem I POJ 1160 Post Office
3 / 5 Problem J POJ 1180 Batch Scheduling
3 / 3 Problem K POJ 2018 Best Cow Fences
2 / 4 Problem L POJ 3709 K-Anonymous Sequence
Problem M POJ 2841 Navigation Game
2 / 2 Problem N POJ 1260 Pearls
2 / 4 Problem O UVA 12594 Naming Babies
3 / 4 Problem P HDU 3480 Division
1 / 1 Problem Q UVALive 6771 Buffed Buffet