Vijos1982 NOIP2015Day2T2 子串 substring 动态规划

时间：2022-10-31 01:15:26

子串 (substring.cpp/c/pas)　　　题目链接

【问题描述】
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个 互不重叠 的非空子串，然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一
个新的字符串，请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等？注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案 。
【输入格式】
输入文件名为 substring.in。
第一行是三个正整数 n，m，k，分别表示字符串 A 的长度，字符串 B 的长度，以及问题描述中所提到的 k，每两个整数之间用一个空格隔开。
第二行包含一个长度为 n 的字符串，表示字符串 A。
第三行包含一个长度为 m 的字符串，表示字符串 B。
【输出格式】
输出文件名为 substring.out。
输出共一行，包含一个整数，表示所求方案数。 由于答案可能很大，所以这里要求对输出答案对 1,000,000,007 取模 的结果。
【输入输出样例 1】
substring.in
6 3 1
aabaab
aab
substring.out
2
【输入输出样例 2】
substring.in
6 3 2
aabaab
aab
substring.out
7
【输入输出样例 3】
substring.in
6 3 3
aabaab
aab
substring.out
7

【题解】
NOIP2015Day2T2
一道好好的DP题
我们用dp[i][j][k]表示在B串中匹配i个，在A串中匹配到的位置为j，共使用k个子串的方案总数，则dp[i][j][k]=Σdp[i-1][j'][k-1] +dp[i-1][j-1][k]
那么，对于Σ可以用前缀和优化，这样的时间就可以卡进去了，但是空间还是要炸，所以我们采用滚动数组来优化空间即可。详见代码。

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cmath>

using namespace std;

const int N=+,M=+;

const int mod=1e9+;

char s1[N],s2[M];

int n,m,K;

int dp[][N][M],sum[][N][M];

//dp[i][j][k]=Σdp[i-1][j'][k-1](1<=j'<=j-1) +dp[i-1][j-1][k]

int main(){

    scanf("%d%d%d%s%s",&n,&m,&K,s1+,s2+);

    memset(dp,,sizeof dp);

    memset(sum,,sizeof sum);

    int I=,J=;

    for (int i=;i<=n;i++){

        if (s2[]==s1[i])

            dp[][i][]=;

        sum[][i][]=sum[][i-][]+dp[][i][];

    }

    for (int i=;i<=m;i++,I^=,J^=){

        memset(dp[J],,sizeof dp[J]);

        memset(sum[J],,sizeof sum[J]);

        for (int j=;j<=n;j++){

            if (s2[i]!=s1[j])

                continue;

            for (int k=;k<=K;k++)

                if (j>=)

                    dp[J][j][k]=(sum[I][j-][k-]+dp[I][j-][k])%mod;

                else

                    dp[J][j][k]=dp[I][j-][k];

        }

        for (int k=;k<=K;k++)

            for (int j=;j<=n;j++)

                sum[J][j][k]=(sum[J][j-][k]+dp[J][j][k])%mod;

    }

    printf("%d",sum[I][n][K]);

    return ;

}

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