最近在做CTR，刚好Google在KDD发了一篇文章，讲了他们的一些尝试，总结一下：
先是一些公式的符号说明：
一、优化算法
CTR中经常用Logistic regression进行训练，一个常用的Loss Function为
Online gradient descent(OGD)是一个常用的优化方法，但是在加上L1正则化后，这种方法不能产生有效的稀疏模型。相比之下 Regularized Dual Averaging (RDA)拥有更好的稀疏性，但是精度不如OGD好。
FTRL-Proximal 方法可以同时得到稀疏性与精确性，不同于OGD的迭代步骤：
其中$\eta_t$是一个非增的学习率
FTRL-Proximal通过下式迭代：
其中参数 $\sigma_s$ 是学习率，一般我们有 $\sum_{s=1}^t\sigma_s=\frac{1}{\eta_t}$ 。
更新公式：
算法如下：
这里多个一个 $\lambda_2$ 是一个L2正则化参数。
二、学习率
$\displaystyle \eta_t=\frac{1}{\sqrt{t}}$
由于在求解时，这样，对每一个坐标我们都使用了同样的参数，这样一些没有使用的坐标的参数也会下降，显然这不太合理。
一个近似最优的选择是：
g是梯度向量
三、存储空间
1.特征选择
在CTR中，跟多特征仅仅出现了一次(In fact, in some of our models, half the unique features occur only once in the entire training set of billions of examples)，这样特征几乎没有什么用，但是存储起来非常浪费空间。L1正则化虽然解决了一些问题，但是这样降低了一些精度，因此另一个选择是
probabilistic feature inclusion，这种方法中，一个特征第一次出现时，会以一定的概率被保存使用。关于这个概率Google尝试了两种方法：
Poisson Inclusion：以概率p增加特征，这样一般特征被加入就需要出现1/p次
Bloom Filter Inclusion：用一系列的Bloom flters来检测特征的前n次出现，一旦检测到出现了n次（因为BF有冲突，所以实际可能少于n），就加入模型并用在后面的训练中。
2.系数编码
因为大部分系数都在-2和2之间，因此使用了定点的q2.13编码，同时也保证了小数的一些精度。编码包括一位的符号，2位的整数和13位的小数。
因此误差可能在OGD算法中发散，因此使用了一个简单的随机取整策略：
R是一个0到1的随机整数。
3.多个相似模型的训练
在测试一些超参数的影响时，同时训练多个模型非常有用。观察发现，有些数据可以被多个模型共用，但是另外一些（如系数）不能，如果把模型的系数存在一个HASH表里，就可以让多个变体同时使用这些参数，比如学习率。
4.单值结构
有时我们想训练一些模型，他们之间只是删除或增加了一些特征。单值特征为每一个特征存了一个权重，权重被所有有该特征的模型共享，学习方法如下：
在OGD更新中，每个模型用他自己的的那部分特征计算一个Loss, 然后对每一个特征，每一个模型计算一个新的系数，最后把所有值平均后存为单值。该单值下一步被所有模型使用。
5.计数与梯度
假设所有事件包括统一特征的概率相同（一个粗糙但是有效的估计），其中出现了P次，没有出现N次，那么出现的概率就是p=P/(N+P),那么在logistic regression中，正事件的导数是p-1,负事件p，梯度的平方和就是：
6.采样训练数据：
CTR中的负样本远高与正样本，因此采样的数据包括满足所有的正样本和部分负样本：
在训练中给正样本1的权重，负样本1/r的权重以避免模型结果出错。权重乘如Loss Function对应项中。
四、模型评价1
1.进度验证(Progressive Validation)
因为计算梯度的同时需要计算预测值，因此可以收集这些值。在线的loss反映了算法的表现---他度量了训练一个数据前得到的预测结果。这样也使得所有数据被同时作用训练集和测试集使用。
2.可视化加强理解
上图对query进行了切片后，将两个模型与一个控制模型模型进行了比较。度量用颜色表示，每行是一个模型，每列是一个切片。
五、置信估计
六、预测矫正
矫正的数据
p是模型预测的CTR，d是一些训练数据。
一个常用矫正：
两个参数可以用Poisson regression在数据上训练。