P1984 [SDOI2008]烧水问题

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题目提供者lych
标签数论(数学相关)模拟各省省选
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题目描述

把总质量为1kg的水分装在n个杯子里，每杯水的质量均为(1/n)kg，初始温度均为0℃。现需要把每一杯水都烧开。我们可以对任意一杯水进行加热。把一杯水的温度升高t℃所需的能量为(4200*t/n)J，其中，“J”是能量单位“焦耳”。如果一旦某杯水的温度达到100℃，那么这杯水的温度就不能再继续升高，此时我们认为这杯水已经被烧开。显然地，如果直接把水一杯一杯地烧开，所需的总能量为(4200*100)J。

在烧水的过程中，我们随时可以在两杯温度不同的水之间进行热传递操作。热量只能从温度较高的那杯水传递到温度较低的那杯水。由于两杯水的质量相同，所以进行热传递操作之后，原来温度较高的那杯水所降低的温度总是等于原来温度较低的那杯水所升高的温度。

一旦两杯水的温度相同，热传递立刻停止。

为了把问题简化，我们假设：

1、没有进行加热或热传递操作时，水的温度不会变化。

2、加热时所花费的能量全部被水吸收，杯子不吸收能量。

3、热传递总是隔着杯子进行，n杯水永远不会互相混合。

4、热传递符合能量守恒，而且没有任何的热量损耗。

在这个问题里，只要求把每杯水都至少烧开一遍就可以了，而不要求最终每杯水的温度都是100℃。我们可以用如下操作把两杯水烧开：先把一杯水加热到100℃，花费能量(4200*100/2)J，然后两杯水进行热传递，直到它们的温度都变成50℃为止，最后把原来没有加热到100℃的那杯水加热到100℃，花费能量(4200*50/2)J，此时两杯水都被烧开过了，当前温度一杯100℃，一杯50℃，花费的总能量为(4200*75)J，比直接烧开所需的(4200*100)J少花费了25%的能量。

你的任务是设计一个最佳的操作方案使得n杯水都至少被烧开一遍所需的总能量最少。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只有一个数n。

输出格式：

输出n杯水都至少被烧开一遍所需的最少的总能量，单位为J，四舍五入到小数点后两位。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

315000.00

说明

1≤n≤50000

分析：一个很容易想到的思路就是把每杯水能传递的热量都给传递,考虑第i杯水，如果想要到100℃，那么从第1杯到第i-1杯水能给它热传递就热传递，这样可以发现从1到i-1杯水的温度是递增的，所以结果一定是最优的，然后把这个暴力打上去后超时......

那么就要用一些特殊的方法了，注意到题目只给出了一个数n,而要求输出一堆东西，那么很显然，不是递推就是数学公式，加上数据有那么大，可以确定为数学公式,然后发现这个公式我推不出来，那么这个时候就要找规律了，手动模拟一下.

为了方便起见，每杯水升1℃需要消耗1J，假设有4杯水，第一杯水需要消耗100J的能量，第二杯水需要消耗50J的能量，第三杯水需要消耗37.5J的能量，第四杯水需要消耗31.25J的能量，设第i杯水花费的能量为costi,那么cost2 = (1/2)cost1,cost3 = (3/4)cost2,cost4 = (5/6)cost3,然后发现规律，对于第i杯水而言，消耗的能量=costi-1 * (2*i - 1)/(2*i),然后一个循环就搞定了.数学规律有时候也要靠找规律找到啊！

暴力程序（20分）：

#include <cstdio>

double t[];

int main()

{

    int n; scanf("%d", &n);

    double cur = 420000.00 / n, tot = ;

    int j;

    t[] = cur;

    for (int i = ; i <= n; i++)

    {

        double temp = ;

        for (j = ; j < i; j++)

        {

            temp = (t[j] - t[i]) / ;

            t[j] -= temp;

            t[i] += temp;

        }

        tot += cur - t[i];

        t[i] = cur;

    }

    printf("%.2lf\n", tot + cur);return ;

}

正解：

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

using namespace std;

int n;

double cost, ans;

int main()

{

    scanf("%d", &n);

    cost = 420000.00 / n;

    for (int i = ; i < n; i++)

    {

        ans += cost;

        cost *= (double)( * i - ) / (double)( * i);

    }

    printf("%.2lf\n", ans + cost); //计算ans的时候没有加上最后一个

    return ;

}

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