牛跑步
【问题描述】
BESSIE准备用从牛棚跑到池塘的方法来锻炼. 但是因为她懒,她只准备沿着下坡的路跑到池塘, 然后走回牛棚. BESSIE也不想跑得太远,所以她想走最短的路经. 农场上一共有M (1 <= M <= 10,000)条路, 每条路连接两个用1..N(1 <= N <= 1000)标号的地点. 更方便的是,如果X>Y,则地点X的高度大于地点Y的高度. 地点N是BESSIE的牛棚;地点1是池塘. 很快, BESSIE厌倦了一直走同一条路.所以她想走不同的路,更明确地讲,她想找出K (1 <= K <= 100)条不同的路经.为了避免过度劳累,她想使这K条路经为最短的K条路经. 请帮助BESSIE找出这K条最短路经的长度.你的程序需要读入农场的地图, 一些从X_i到Y_i 的路经和它们的长度(X_i, Y_i, D_i). 所有(X_i, Y_i, D_i)满足(1 <= Y_i < X_i; Y_i < X_i <= N, 1 <= D_i <= 1,000,000).
【输入格式】
* 第1行: 3个数: N, M, 和K
* 第 2..M+1行: 第 i+1 行包含3个数 X_i, Y_i, 和 D_i, 表示一条下坡的路.
【输出格式】
* 第1..K行: 第i行包含第i最短路经的长度,或-1如果这样的路经不存在.如果多条路经有同样的长度,请注意将这些长度逐一列出.
【样例输入】
5 8 7
5 4 1
5 3 1
5 2 1
5 1 1
4 3 4
3 1 1
3 2 1
2 1 1
【样例输出】
1
2
2
3
6
7
-1
【样例解释】
路经分别为(5-1), (5-3-1), (5-2-1), (5-3-2-1), (5-4-3-1),(5-4-3-2-1).
题解：
A*，f(n)=h(n)+g(n)，g(n)表示从初始结点到任意结点n的代价，h(n)表示从结点n到目标点的启发式评估代价
启发式函数可以控制A*的行为：
- 一种极端情况，如果h(n)是0，则只有g(n)起作用，此时A*演变成Dijkstra算法，这保证能找到最短路径。
- 如果h(n)经常都比从n移动到目标的实际代价小（或者相等），则A*保证能找到一条最短路径。h(n)越小，A*扩展的结点越多，运行就得越慢。
- 如果h(n)精确地等于从n移动到目标的代价，则A*将会仅仅寻找最佳路径而不扩展别的任何结点，这会运行得非常快。尽管这不可能在所有情况下发生，你仍可以在一些特殊情况下让它们精确地相等（译者：指让h(n)精确地等于实际值）。只要提供完美的信息，A*会运行得很完美，认识这一点很好。
- 如果h(n)有时比从n移动到目标的实际代价高，则A*不能保证找到一条最短路径，但它运行得更快。
- 另一种极端情况，如果h(n)比g(n)大很多，则只有h(n)起作用，A*演变成BFS算法。
所以我们得到一个很有趣的情况，那就是我们可以决定我们想要从A*中获得什么。理想情况下，我们想最快地得到最短路径。如果我们的目标太低，我们仍会得到最短路径，不过速度变慢了；如果我们的目标太高，那我们就放弃了最短路径，但A*运行得更快。
摘自：堪称最好的A*算法
此题我们可以直接用单源最短路（Spfa）求出精确的h(n)，根据A*性质那么第k次找到终点的路径就是第k大的路径
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline void Scan(int &x)
{
char c;
bool o = false;
while(!isdigit(c = getchar())) o = (c != '-') ? o : true;
x = c - '';
while(isdigit(c = getchar())) x = x * + c - '';
if(o) x = -x;
}
const int maxn = 5e3 + ;
const int maxm = 2e5 + ;
const double inf = 2e9;
int n, m, k;
int ansn, ans[maxn];
int x[maxm], y[maxm], z[maxm];
int tot, fir[maxn], nex[maxm], ver[maxm];
double val[maxm];
inline void Add(int x, int y, double z)
{
nex[++tot] = fir[x];
fir[x] = tot;
ver[tot] = y;
val[tot] = z;
}
bool vis[maxn];
int que[maxn << ];
double dis[maxn];
inline void Spfa(int x)
{
for(int i = ; i <= n; ++i) dis[i] = inf;
int head = , tail = ;
que[tail] = x;
dis[x] = ;
vis[x] = true;
while(head < tail)
{
int u = que[++head];
for(int i = fir[u]; i; i = nex[i])
{
int v = ver[i];
if(dis[v] > dis[u] + val[i])
{
dis[v] = dis[u] + val[i];
if(!vis[v])
{
vis[v] = true;
que[++tail] = v;
}
}
}
vis[u] = false;
}
}
struct ele
{
int num;
double len;
};
priority_queue <ele> p;
inline bool operator < (ele a, ele b)
{
return a.len + dis[a.num] > b.len + dis[b.num];
}
inline void Astar()
{
ele u, v;
p.push((ele) {n, });
while(!p.empty())
{
u = p.top();
p.pop();
if(u.num == )
{
ans[++ansn] = u.len;
if(ansn == k) return;
}
for(int i = fir[u.num]; i; i = nex[i])
{
v.num = ver[i];
v.len = u.len + val[i];
p.push(v);
}
}
}
int main()
{
Scan(n), Scan(m), Scan(k);
for(int i = ; i <= m; ++i)
{
Scan(x[i]), Scan(y[i]), Scan(z[i]);
Add(y[i], x[i], z[i]);
}
Spfa();
tot = ;
memset(fir, , sizeof(fir));
for(int i = ; i <= m; ++i) Add(x[i], y[i], z[i]);
memset(ans, , sizeof(ans));
Astar();
for(int i = ; i <= k; ++i) printf("%d\n", ans[i] < inf ? ans[i] : -);
}