随机梯度下降(Stochastic gradient descent)和 批量梯度下降(Batch gradient descent )的公式对比、实现对比[转]

时间:2022-11-22 16:21:18

梯度下降(GD)是最小化风险函数、损失函数的一种常用方法,随机梯度下降和批量梯度下降是两种迭代求解思路,下面从公式和实现的角度对两者进行分析,如有哪个方面写的不对,希望网友纠正。

下面的h(x)是要拟合的函数,J(theta)损失函数,theta是参数,要迭代求解的值,theta求解出来了那最终要拟合的函数h(theta)就出来了。其中m是训练集的记录条数,j是参数的个数。

随机梯度下降(Stochastic gradient descent)和 批量梯度下降(Batch gradient descent )的公式对比、实现对比[转]

随机梯度下降(Stochastic gradient descent)和 批量梯度下降(Batch gradient descent )的公式对比、实现对比[转]

1、批量梯度下降的求解思路如下:

(1)将J(theta)对theta求偏导,得到每个theta对应的的梯度

随机梯度下降(Stochastic gradient descent)和 批量梯度下降(Batch gradient descent )的公式对比、实现对比[转]

(2)由于是要最小化风险函数,所以按每个参数theta的梯度负方向,来更新每个theta

随机梯度下降(Stochastic gradient descent)和 批量梯度下降(Batch gradient descent )的公式对比、实现对比[转]

(3)从上面公式可以注意到,它得到的是一个全局最优解,但是每迭代一步,都要用到训练集所有的数据,如果m很大,那么可想而知这种方法的迭代速度!!所以,这就引入了另外一种方法,随机梯度下降。

2、随机梯度下降的求解思路如下:

(1)上面的风险函数可以写成如下这种形式,损失函数对应的是训练集中每个样本的粒度,而上面批量梯度下降对应的是所有的训练样本:

随机梯度下降(Stochastic gradient descent)和 批量梯度下降(Batch gradient descent )的公式对比、实现对比[转]

(2)每个样本的损失函数,对theta求偏导得到对应梯度,来更新theta

随机梯度下降(Stochastic gradient descent)和 批量梯度下降(Batch gradient descent )的公式对比、实现对比[转]

(3)随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次,如果样本量很大的情况(例如几十万),那么可能只用其中几万条或者几千条的样本,就已经将theta迭代到最优解了,对比上面的批量梯度下降,迭代一次需要用到十几万训练样本,一次迭代不可能最优,如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是,SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多,使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。

3、对于上面的linear regression问题,与批量梯度下降对比,随机梯度下降求解的会是最优解吗?

(1)批量梯度下降---最小化所有训练样本的损失函数,使得最终求解的是全局的最优解,即求解的参数是使得风险函数最小。

(2)随机梯度下降---最小化每条样本的损失函数,虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向, 但是大的整体的方向是向全局最优解的,最终的结果往往是在全局最优解附近。

4、梯度下降用来求最优解,哪些问题可以求得全局最优?哪些问题可能局部最优解?

对于上面的linear regression问题,最优化问题对theta的分布是unimodal,即从图形上面看只有一个peak,所以梯度下降最终求得的是全局最优解。然而对于multimodal的问题,因为存在多个peak值,很有可能梯度下降的最终结果是局部最优。

5、随机梯度和批量梯度的实现差别

以前一篇博文中NMF实现为例,列出两者的实现差别(注:其实对应Python的代码要直观的多,以后要练习多写python!)

  1. // 随机梯度下降,更新参数
  2. public void updatePQ_stochastic(double alpha, double beta) {
  3. for (int i = 0; i < M; i++) {
  4. ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();
  5. for (Feature Rij : Ri) {
  6. // eij=Rij.weight-PQ for updating P and Q
  7. double PQ = 0;
  8. for (int k = 0; k < K; k++) {
  9. PQ += P[i][k] * Q[k][Rij.dim];
  10. }
  11. double eij = Rij.weight - PQ;
  12. // update Pik and Qkj
  13. for (int k = 0; k < K; k++) {
  14. double oldPik = P[i][k];
  15. P[i][k] += alpha
  16. * (2 * eij * Q[k][Rij.dim] - beta * P[i][k]);
  17. Q[k][Rij.dim] += alpha
  18. * (2 * eij * oldPik - beta * Q[k][Rij.dim]);
  19. }
  20. }
  21. }
  22. }
  23. // 批量梯度下降,更新参数
  24. public void updatePQ_batch(double alpha, double beta) {
  25. for (int i = 0; i < M; i++) {
  26. ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();
  27. for (Feature Rij : Ri) {
  28. // Rij.error=Rij.weight-PQ for updating P and Q
  29. double PQ = 0;
  30. for (int k = 0; k < K; k++) {
  31. PQ += P[i][k] * Q[k][Rij.dim];
  32. }
  33. Rij.error = Rij.weight - PQ;
  34. }
  35. }
  36. for (int i = 0; i < M; i++) {
  37. ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();
  38. for (Feature Rij : Ri) {
  39. for (int k = 0; k < K; k++) {
  40. // 对参数更新的累积项
  41. double eq_sum = 0;
  42. double ep_sum = 0;
  43. for (int ki = 0; ki < M; ki++) {// 固定k和j之后,对所有i项加和
  44. ArrayList<Feature> tmp = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();
  45. for (Feature Rj : tmp) {
  46. if (Rj.dim == Rij.dim)
  47. ep_sum += P[ki][k] * Rj.error;
  48. }
  49. }
  50. for (Feature Rj : Ri) {// 固定k和i之后,对多有j项加和
  51. eq_sum += Rj.error * Q[k][Rj.dim];
  52. }
  53. // 对参数更新
  54. P[i][k] += alpha * (2 * eq_sum - beta * P[i][k]);
  55. Q[k][Rij.dim] += alpha * (2 * ep_sum - beta * Q[k][Rij.dim]);
  56. }
  57. }
  58. }
  59. }
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来源: http://blog.csdn.net/lilyth_lilyth/article/details/8973972