Reservoir Sampling - 蓄水池抽样算法&&及相关等概率问题

时间:2021-02-12 17:17:35

        问题:如何随机从n个对象中选择一个对象,这n个对象是按序排列的,但是在此之前你是不知道n的值的。

 思路:如果我们知道n的值,那么问题就可以简单的用一个大随机数rand()%n得到一个确切的随机位置,那么该位置的对象就是所求的对象,选中的概率是1/n。

但现在我们并不知道n的值,这个问题便抽象为蓄水池抽样问题,即从一个包含n个对象的列表S中随机选取k个对象,n为一个非常大或者不知道的值。通常情况下,n是一个非常大的值,大到无法一次性把所有列表S中的对象都放到内存中。我们这个问题是蓄水池抽样问题的一个特例,即k=1。

解法:我们总是选择第一个对象,以1/2的概率选择第二个,以1/3的概率选择第三个,以此类推,以1/m的概率选择第m个对象。当该过程结束时,每一个对象具有相同的选中概率,即1/n,证明如下。

证明:第m个对象最终被选中的概率P=选择m的概率*其后面所有对象不被选择的概率,即

Reservoir Sampling - 蓄水池抽样算法&&及相关等概率问题

Reservoir Sampling - 蓄水池抽样算法&&及相关等概率问题

对应蓄水池抽样问题,可以类似的思路解决。先把读到的前k个对象放入“水库”,对于第k+1个对象开始,以k/(k+1)的概率选择该对象,以k/(k+2)的概率选择第k+2个对象,以此类推,以k/m的概率选择第m个对象(m>k)。如果m被选中,则随机替换水库中的一个对象。最终每个对象被选中的概率均为k/n,证明如下。

证明:第m个对象被选中的概率=选择m的概率*(其后元素不被选择的概率+其后元素被选择的概率*不替换第m个对象的概率),即

Reservoir Sampling - 蓄水池抽样算法&&及相关等概率问题

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