【笔记】【线性代数的本质】8-叉积

时间:2023-02-24 19:21:57

笔记目录


标准介绍

叉积的值(大小)

叉积与面积

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叉积的值可以表示为两向量所构成的平行四边形的面积。
如果vw符合右手系,则叉积的值为正值,否则为负值。
也可以理解为如果vw的旋转方向与i-hat到j-hat(基向量)的旋转方向相同,则为正值,如下图:
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顺序对叉积的值有影响:
\(v\times w=-w\times v\)

叉积与行列式

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同样的,叉积的值也可以用表示面积尺度缩放的行列式表示。

叉积的方向

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用右手法则判断

叉积的计算

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计算的验证-从线性变换的角度看叉积

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1.根据vw 定义一个三维到一维的线性变换
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首先,定义一个函数f,输入一个向量u,输出它与vw 所构成的六面体的体积,可以由计算[u v w]的行列式得到。
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**该函数是线性的,所以可以用一个1*3的矩阵f代表函数的变换。**

2.找到它的对偶向量
由对偶性可知,变换矩阵f可以写成一个特定向量pu 的点乘。
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p 即为我们要找的对偶向量
将左右两式展开,可以很容易地计算出 p 的三个分量 p1,p2,p3
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3.说明\(p=v\times w\)
左式的点积可以理解成p 的长度 与 up 上的投影长度的相乘。
如果p 恰好是u和v的点积
则左式=\(p\cdot u=|p|*|u|*cos\alpha=s*h=V\)=右式

所以\(p=v\times w\)
至此,叉积计算方式的几何解释到此结束。