决策树——机器学习(周志华)

时间:2023-02-13 07:26:59

C++实现决策树

决策树

决策数学习的基本算法

决策树——机器学习(周志华)

划分选择

决策树的关键在第8行,如何选择最优划分属性,一般而言,随着划分过程不断进行,我们希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能属于同一类别,即节点的“纯度”越来越高。

信息增益

“信息熵”是度量样本集合纯度最常用的一种指标。

信息熵

E n t ( D ) = k = 1 y p k l o g ( p k ) Ent(D) = -\sum_{k=1}^{|y|}p_klog (p_k)

当前样本D中的第k类样本(比如好瓜、坏瓜)所占的比例为 p k p_k ,则D的信息熵为上面公式,值越小,纯度越高

信息增益(ID3决策树)

G a i n ( D , a ) = E n t ( D ) v = 1 V D v D E n t ( D v ) Gain(D,a) = Ent(D)-\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v)

V V 表示属性a的可能取值为 { a 1 , a 2 , . . . , a V } \{a^1,a^2,...,a^V\} , 信息增益越大,使用a属性来划分所获得的“纯度提升越大”,因此我们可以使用信息增益作为决策树的划分属性选择,就如第8行的 a = arg a A max G a i n ( D , a ) a_* = \arg \limits_{a\in A} \max Gain(D, a) , ID3决策树学习算法就是使用信息增益为准则划分属性

增益率(C4.5决策树)

使用信息增益的缺点可能划分纯度很大,但是决策树不具有泛化能力,就是过拟合,无法对新样本进行有效的预测,信息增益准则对可能取值数目较多的属性有所偏好。C4.5决策树算法使用增益率来选择最优划分属性。
G a i n r a t i o ( D , a ) = G a i n ( D , a ) I V ( a ) Gain_ratio(D,a) = \frac{Gain(D,a)}{IV(a)}
I V ( a ) = v = 1 V D v D l o g 2 D v D IV(a) =-\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}log_2 \frac{|D^v|}{|D|}

I V ( a ) IV(a) 称为属性a的“固有值”,属性a的取值数目越多,值越大。增益率准则对可取值数目较少的属性有所偏好。所以C4.5决策树算法使用了一个启发式的算法:先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性,再从中选择信息增益率最高的。

基尼指数(CART决策树)

数据集D的纯度用基尼指数表示为:

G i n i ( D ) = k = 1 y p k 2 Gini(D) = -\sum_{k=1}^{|y|}p_k^2

基尼指数越小,纯度越高

属性a的基尼指数为:

G i n i i n d e x ( D , a ) = v = 1 V D v D G i n i ( D v ) Gini_index(D,a) = \sum_{v= 1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v)

在候选属性集合A中,选择使得划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性, a = arg a A min G i n i _ i n d e x ( D , a ) a_* = \arg \limits_{a\in A} \min Gini\_index(D, a)

剪枝处理

是一种决策树学习算法对付“过拟合”的手段。

  • 预剪枝
  • 后剪枝

预剪枝

在决策树生成过程中,对每个节点在划分前进行估计,若当前节点的划分不能带来决策树泛化性能提升,则停止划分并将当前节点标记为叶节点。

未剪枝决策树

决策树——机器学习(周志华)

预剪枝决策树

决策树——机器学习(周志华)

后剪枝

先从训练集中生成一颗完整的决策树,然后自底向上地对非叶节点进行考察,若将该节点对应地子树替换为叶节点能带来决策树泛化性能提升,则将该字叔替换为叶节点。

决策树——机器学习(周志华)

连续与缺失值

连续值处理

我们之前都是基于离散属性来生成决策树,现实中可能遇到连续属性。
如图中地密度和含糖率
决策树——机器学习(周志华)

最简单地策略是采用二分法对来内需属性进行处理,C4.5决策树就是采用地这样地机制。

  • 将连续属性a排序为 { a 1 , a 2 , . . . , a n } \{a^1, a^2,...,a^n\}
  • 基于划分点t将D分为子集 D D^- D + D^+
  • 对相邻地属性取值 a i a^i a i + 1 a^{i+1} ,t在区间 [ a i , a i + 1 ) [a^i,a^{i+1}) 中取任意值产生地划分结果相同
  • 划分点集合
    T a = { a i + a i + 1 2 1 < = i < = n 1 } T_a = \{\frac{a^i + a^{i+1}}{2}| 1 <= i <= n - 1\}
  • 信息增益
    G a i n ( D , a ) = max t T a G a i n ( D , a , t ) = max t T a E n t ( D ) λ { , + } D t λ D E n t ( D t λ ) Gain(D,a) =\max \limits_{t\in T_a} Gain(D,a,t) =\max \limits_{t\in T_a} Ent(D)-\sum \limits_{\lambda\in \{-,+\}} \frac{|D_t^{\lambda}|}{|D|}Ent(D_t^{\lambda})

选择使 max t T a G a i n ( D , a , t ) \max \limits_{t\in T_a} Gain(D,a,t) 最大化地划分点

缺失值处理

现实任务中总会遇到不完整地样本,样本地某些属性值缺失。我们不能完全丢弃,否则是一种信息浪费。

所以我们要解决两个问题:

  • 如何在属性值缺失的情况下进行划分属性选择?
  • 给定划分属性?若样本在该属性上的值缺失,如何对样本进行划分?

下面

  • D ~ \widetilde{D} 表示D中在属性a上没有缺失值地样本子集
  • D ~ v \widetilde{D}^v 表示 D ~ \widetilde{D} 在属性a上取值为 a v a^v 地样本子集
  • 假定我们给每一个x赋予一个权重 ω x \omega_x ,并定义

ρ = x D ~ ω x x D ω x \rho = \frac{\sum_{x\in \widetilde{D}}\omega_x}{\sum_{x\in D}\omega_x}

表示无缺失值样本所占比例

ρ ~ k = x D ~ k ω x x D ~ ω x \widetilde{\rho }_k= \frac{\sum_{x\in \widetilde{D}_k}\omega_x}{\sum_{x\in \widetilde{D}}\omega_x}

表示无缺失值样本中第k类所占地比例

r ~ v = x D ~ v ω x x D ~ ω x \widetilde{r }_v= \frac{\sum_{x\in \widetilde{D}^v}\omega_x}{\sum_{x\in \widetilde{D}}\omega_x}

表示无缺失值样本中在属性a上取值 a v a^v 地样本所占地比例

  • 信息增益

G a i n ( D , a ) = ρ G a i n ( D ~ , a ) = ρ ( E n t ( D ~ ) v = 1 V r ~ v E n t ( D ~ v ) ) Gain(D,a) = \rho * Gain(\widetilde{D},a)\\ = \rho * (Ent(\widetilde{D})-\sum_{v=1}^{V}\widetilde{r }_vEnt(\widetilde{D}^v))

E n t ( D ) = k = 1 y ρ ~ k l o g ( ρ ~ k ) Ent(D) = -\sum_{k=1}^{|y|}\widetilde{\rho }_klog (\widetilde{\rho }_k)