牛顿迭代法快速寻找平方根

时间:2023-01-07 21:43:55
  下面这种方法可以很有效地求出根号a的近似值:首先随便猜一个近似值x,然后不断令x等于x和a/x的平均数,迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。
    例如,我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4,虽然错的离谱,但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了:

(       4  + 2/   4     ) / 2 = 2.25
(    2.25  + 2/   2.25  ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..

( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

牛顿迭代法快速寻找平方根

    这种算法的原理很简单,我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根,这个函数的导数是2x。也就是说,函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么,x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x),也就是(x+a/x)/2。
    同样的方法可以用在其它的近似值计算中。Quake III的源码中有一段非常牛B的开方取倒函数。

设r是f(x) = 0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L,L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值。

过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),称x2为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),称为r的n+1次近似值,上式称为牛顿迭代公式。

转化为:
牛顿迭代法快速寻找平方根 

【牛顿迭代法】

假设方程 牛顿迭代法快速寻找平方根在 牛顿迭代法快速寻找平方根 附近有一个根,那么用以下迭代式子:
牛顿迭代法快速寻找平方根 
依次计算牛顿迭代法快速寻找平方根牛顿迭代法快速寻找平方根牛顿迭代法快速寻找平方根、……,那么序列将无限逼近方程的根。

牛顿迭代法的原理很简单,其实是根据f(x)在x0附近的值和斜率,估计f(x)和x轴的交点,看下面的动态图:


令:
牛顿迭代法快速寻找平方根 
所以f(x)的一次导是:
牛顿迭代法快速寻找平方根
牛顿迭代式:
牛顿迭代法快速寻找平方根

随便一个迭代的初始值,例如牛顿迭代法快速寻找平方根,代入上面的式子迭代。

例如计算牛顿迭代法快速寻找平方根,即a=2。
牛顿迭代法快速寻找平方根
牛顿迭代法快速寻找平方根
牛顿迭代法快速寻找平方根
……


计算器上可给出牛顿迭代法快速寻找平方根

【用牛顿迭代法开任意次方】

牛顿迭代法快速寻找平方根的递推式是:
牛顿迭代法快速寻找平方根