算法的时间复杂度(大O表示法,其中O是个常量)

时间:2022-09-09 14:59:20
算法的时间复杂度和空间复杂度都是用 大O表示法,来表示的。其中O是个常量。

常见的 排序算法时间复杂度

                                              冒泡排序、插入排序、希尔排序、选择排序的时间复杂度是O(n^2);

                                              快速排序的时间复杂度是 O(n * log n);

                                  空间复杂度:

                                              冒泡排序、插入排序、希尔排序、选择排序的空间复杂度是O(1);

                                              快速排序的时间复杂度是 O(log n);

常见的 查找算法的时间复杂度:

                        线性结构的查找的时间复杂度,如 二分查找(用于已经排好序的数据,如已序的数组);O(n)

                        非线性结构的查找的时间复杂度,如 二叉查找树 ;O(log n)

 

排序类别  时间复杂度  空间复杂度  稳定 

1 插入排序  O(n2)              O(1)         √ 

2 希尔排序  O(n2)              O(1)         × //Shell(希尔)排序是基于插入排序的,时间效率比插入、选择、冒泡高,但又比快速排序低点;

3 冒泡排序 O(n2)               O(1)         √ 

4 选择排序  O(n2)              O(1)         ×  

5 快速排序  O(Nlogn)      O(logn)     × 

6 堆排序  O(Nlogn)          O(1)          × 

7 归并排序 O(Nlogn)        O(n)          √ 

 

冒泡排序、插入排序、归并排序是稳定的,算法时间复杂度是O(n ^2);

选择排序、快速排序、堆排序、希尔排序都是 不稳定的;

 

算法的时间复杂度

一、 时间复杂度定义

定义:如果一个问题的规模是n,解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n),它是n的某一函数T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时,时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

二、大O表示法

我们常用大O表示法表示时间复杂性,注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界,由定义如果f(n)=O(n),那显然成立f(n)=O(n^2),它给你一个上界,但并不是上确界,但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。此外,一个问题本身也有它的复杂性,如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界,那就称这样的算法是最佳算法。

“大O记法" :在这种描述中使用的基本参数是n,即问题实例的规模,把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级(order),比如说“二分检索是O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法O ( f(n) )表示当n增大时,运行时间至多将以正比于f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的,但在实践中细节也可能造成差异。例如,一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的O(nlogn)算法运行得更快。当然,随着n足够大以后,具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;                     
以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)
2.1.交换i和j的内容
     sum=0;                (一次)
     for(i=1;i<=n;i++)      (n次)
        for(j=1;j<=n;j++)(n^2次)
          sum++;       (n^2次)
解:T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.   
    for (i=1;i<n;i++)
    {
        y=y+1;        ①   
        for (j=0;j<=(2*n);j++)    
           x++;        ②      
    }          
解:  语句1的频度是n-1
         语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
         该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         

O(n)                                                           
2.3.
    a=0;
    b=1;                     ①
    for (i=1;i<=n;i++)②
    {  
      s=a+b;    ③
       b=a;     ④  
       a=s;     ⑤
    }
解:  语句1的频度:2,        
          语句2的频度:n,        
         语句3的频度:n-1,        
         语句4的频度:n-1,    
         语句5的频度:n-1,                                  
          T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

 O(log2n )
2.4.
     i=1;       ①
    while (i<=n)
       i=i*2;②
解:语句1的频度是1,  
         设语句2的频度是f(n),  则:2^f(n)<=n;f(n)<=log2n    
         取最大值f(n)= log2n,
          T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
    for(i=0;i<n;i++)
    {  
       for(j=0;j<i;j++)  
       {
          for(k=0;k<j;k++)
             x=x+2;  
       }
    }
解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j可以取0,1,...,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n,则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).
                                   

我们还应该区分算法的最坏情况的行为期望行为

快速排序的最坏情况运行时间是O(n^2),但期望时间是O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值,我们有可能把平方情况(即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于0。在实际中,精心实现的快速排序一般都能以(O(nlogn)时间运行。