自动控制原理学习笔记（五）

第五章 线性系统频域分析法

5.1 频率特性$G(j\omega)$G(jω)基本概念

• 频率响应：线性系统稳态正弦响应的幅值、相角随输入频率变化的规律。

  $\omega$ω 从0到 $+\infty$+∞ 变化时， $G(j\omega)$G(jω) 幅值和相位随 $\omega$ω 的变化。

• 仅适用于线性定常系统。

• 给系统一个脉冲信号$\delta(t)$δ(t), 得到脉冲响应 $k(t)$k(t) ,对脉冲响应做傅里叶变换即得到频率特性$G(j\omega)$G(jω)。

• 是系统的固有属性，由系统的结构和参数决定。

• 不稳定的系统观察不到频率特性。

• 计算器可以求复数的幅值和相角（考前复习）

• 一般讨论仅针对 $\omega \in [0,+\infty)$ω∈[0,+∞)，若涉及到 $\omega < 0$ω<0

  则有
  $\begin{cases} |G(j\omega)|=|G(-j\omega)|\\ \angle G(j\omega)=-\angle G(j\omega)\\ \end{cases}\\ 或\\ \begin{cases} Re[G(j\omega)]=Re[G(-j\omega)]\\ Im[G(j\omega)]=-Im[-G(j\omega)]\\ \end{cases}${∣G(jω)∣=∣G(−jω)∣∠G(jω)=−∠G(jω)​或{Re[G(jω)]=Re[G(−jω)]Im[G(jω)]=−Im[−G(jω)]​

频率特性$G(j\omega)$G(jω)定义(三种)

• 定义一：幅值比，相位差（求频率特性的实验方法）

$G(j\omega)=|G(j\omega)|\angle G(j\omega)$G(jω)=∣G(jω)∣∠G(jω)

其中
$|G(j\omega)|=\dfrac{|C_s(t)|}{|r(t)|} 输出和输入的幅值比\\ \angle G(j\omega)=\angle C_s(t)-\angle r(t) 输出和输入的相位差$∣G(jω)∣=∣r(t)∣∣Cs​(t)∣​输出和输入的幅值比∠G(jω)=∠Cs​(t)−∠r(t)输出和输入的相位差

• 定义二：直接用 $j\omega$jω 替代闭环传递函数中的s

$G(j\omega)=G(s)|_{s=j\omega}$G(jω)=G(s)∣s=jω​

• 定义三：输出信号与输入信号的傅里叶变换之比

  对比傅里叶变换和拉氏变换的定义
  $G(j\omega)=F[G(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-j\omega t}dt\\ G(s)=L[G(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-st}dt$G(jω)=F[G(t)]=∫−∞+∞​g(t)e−jωtdtG(s)=L[G(t)]=∫−∞+∞​g(t)e−stdt

最小相位与非最小相位环节

• 定义：在幅频特性相同的系统中，相频变化最小的系统称为最小相位系统。
• 结论：最小相位系统没有右半复平面的零极点（所有零极点都小于或等于零），也无延迟环节。是稳定的。非最小相位系统有一个或多个右半复平面的零极点。
• 事实：两个不同的传递函数可以有相同的幅频特性，其中相频特性变化范围小的那个是最小相位系统。
• 最小相位 $\iff$⟺ Lyapunov意义的稳定（包括等幅振荡）。

做题注意

要判断 $G(j\omega)$G(jω) 实部和虚部的正负号，来判断所在的象限，从而判断相角的范围。

5.2 频率特性几何表示法（三种）

1. Nyquist图（八大典型环节）

定义：将频率特性$G(j\omega)$G(jω)写成模和幅角的形式，角频率 $\omega$ω 从0 到$+\infty$+∞ ，将 $G(j\omega)$G(jω) 的轨迹画在复平面中。

特点：某一频率特性$G(j\omega)$G(jω) 乘某一常数K, 原曲线各点的幅值扩大为K倍，相角不变。

若要画 $0\rightarrow -\infty$0→−∞ 的Nyquist图，则与$0 \rightarrow +\infty$0→+∞ 的曲线关于实轴对称即可。

• 惯性环节 $\dfrac{K}{1+Ts}$1+TsK​ 的Nyquist图是半圆，证明：

• （5）一阶微分：$G(s)=1+Ts$G(s)=1+Ts
  $|G(j\omega)|=\sqrt{1+(T\omega)^2}\\ \angle G(j\omega)=arctan(T\omega)$∣G(jω)∣=1+(Tω)2​∠G(jω)=arctan(Tω)
  

• （6）二阶震荡环节

  产生谐振峰值的条件：$0<\xi<0.707$0<ξ<0.707
  $谐振频率 \omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2}\\ 谐振峰值 M_r=|G(j\omega_r)|=\dfrac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$谐振频率ωr​=ωn​1−2ξ2​谐振峰值Mr​=∣G(jωr​)∣=2ξ1−ξ2​1​

二阶震荡环节的转折点、谐振频率、谐振峰值

转折点 $\omega=\omega_n$ω=ωn​ 对应的相角为-90°

• （7）二阶微分

• (8)延迟环节

典型环节的组合（连乘积）

• 多个环节相乘，幅值相乘，相角相加。
• 多个环节相除，幅值相除，相角相减。
• 开环传函才能写成多个典型环节的连乘积。

系统的开环幅相频率特性画法

着重求起点和终点，必要时求出与实轴、虚轴的交点。

1. 起点：$\omega=0$ω=0 时，除放大环节幅值为K, 积分环节相角为-90°，其余环节均幅值为1，相角为0。系统有 $v$v 个积分环节串联时，开环Nyquist图从 $ \omega=0^+ $ 开始，起点处相角为 $-v\cdot90°$−v⋅90°，

   故起点

   $\begin{cases} K\angle 0°,v=0\\ \infty \angle -90°\cdot v,v \ge 1 \end{cases}${K∠0°,v=0∞∠−90°⋅v,v≥1​

2. 终点：当 $\omega \rightarrow \infty$ω→∞ ，每个惯性环节、积分环节、振荡环节曲线的切线方向为其阶数乘(-90°)；每个微分环节曲线切线方向为其阶数乘（+90°），所以 $\omega \rightarrow \infty$ω→∞ 时开环Nyquist图中曲线切线方向是**(n-m)(-90°)**，n为分母的阶数，m为分子的阶数。

$0\angle-90°(n-m)$0∠−90°(n−m)

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2. Bode图（对数幅频特性）

• 横坐标为 $lg\omega$lgω，横轴上两点的距离也为$lg\omega_2-lg\omega_1$lgω2​−lgω1​。
• 原特性乘以K，幅频特性曲线图上平移 $20lgK$20lgK 个单位

$幅频特性，单位dB\\ L(\omega)=20lg|G(j\omega)|\\ 相频特性，单位为°\\ \varphi(\omega)=\angle G(j\omega)$幅频特性，单位dBL(ω)=20lg∣G(jω)∣相频特性，单位为°φ(ω)=∠G(jω)

惯性环节Bode图（转折频率的概念）

振荡环节Bode图

振荡环节转折频率为$\omega_n$ωn​

阻尼比越小，相频特性在 $\omega=\omega_n$ω=ωn​ 附近越陡。

• 振荡环节渐近幅频特性修正表

$\xi$ξ	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	1.2
修正值 dB	+20	+14	+10.5	+8	+6	+4.4	+1.94	0	-1.6	-2.92	-4	-6

典型环节的Bode图

剪切频率

$L(\omega)$L(ω) 与横轴的交点，对应的 $\omega$ω 值记为 $\omega_c$ωc​ , 有 $|G(j\omega_c)|=1, L(\omega_c)=0$∣G(jωc​)∣=1,L(ωc​)=0 。

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绘制系统的开环Bode图的步骤

1. 将频率特性化为标准形式（尾1）
2. 顺序列出转折频率
3. 确定基准线
4. 叠加作图
5. 修正
6. 检查

对数幅频特性的每一个转折点，都对应相频特性的一个连续、光滑、渐变的过渡，自左向右相角变化的增量为

环节	相角增量	幅值增量
惯性环节	-90°	-20dB/dec
一阶微分	+90°	+20dB/dec
震荡环节	-180°	-40dB/dec
二阶微分	+180°	+40dB/dec

关于基准点/线（用于确定最左边的图形）

在幅频特性的最左边，级最低频段，只有放大环节和积分环节的对数幅频特性不为零，**故该段的幅频特性取决于 $\dfrac{K}{s^v}$svK​，**当 $v>0$v>0，可确定该最低频段的斜率是 $-20\cdot v (dB/dec)$−20⋅v(dB/dec), 且延长线必过 $\omega=1,L(\omega)=20lgK$ω=1,L(ω)=20lgK 这点，可确定与纵轴的交点。

若 $v=0$v=0, 则斜率为0。则与纵轴交点为 $20lgK$20lgK。

振荡环节修正值：在转折频率处为$20lg\dfrac{1}{2\xi}$20lg2ξ1​，在峰值频率处为 $20lg\dfrac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$20lg2ξ1−ξ2​1​ (课后题5-8，5-10)

振荡环节渐近幅频特性修正表

$\xi$ξ	0.05	0.1	0.15	0.2	0.25	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	1.2
修正值 dB	+20	+14	+10.5	+8	+6	+4.4	+1.94	0	-1.6	-2.92	-4	-6

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5.3 闭环系统稳定性分析

闭环系统稳定的充要条件：

1. 闭环特征方程$D(s)=0$D(s)=0的n个根全部具有负实部。
2. 当 $\omega$ω 从 $0 \rightarrow +\infty, D(j\omega)$0→+∞,D(jω) 的相角增量为 $n\dfrac{\pi}{2}$n2π​ 。（推导书P232）

辅助函数F(s)

系统的开环传函设为 $G(s)H(s)=\dfrac{KM(s)}{N(s)}$G(s)H(s)=N(s)KM(s)​ ，分母阶数为n，分母阶数为m。常有n>m

闭环系统特征方程 $D(s)=KM(s)+N(s)=0$D(s)=KM(s)+N(s)=0

引入辅助函数 $F(s)=1+G(s)H(s)=\dfrac{D(s)}{N(s)}$F(s)=1+G(s)H(s)=N(s)D(s)​, 分子分母阶数均为n

结论一（开环稳定时闭环稳定的条件）

若系统开环极点全部在左半平面，则闭环系统稳定的充要条件是：

$\omega=0\rightarrow+\infty$ω=0→+∞，$F(s)$F(s) 的相角变化量为0。

结论二（开环不稳定时闭环稳定的条件）

若系统的n个开环极点中有P个在右半平面，剩下n-P个在左半平面，则闭环稳定的充要条件是：

$\omega=0\rightarrow+\infty$ω=0→+∞，$F(s)$F(s) 的相角变化量为P$\pi$π。

结论三（开环传函有串联积分环节）

$G(s)H(s)=\dfrac{KM(s)}{s^vN'(s)}$G(s)H(s)=svN′(s)KM(s)​

把 $j\omega$jω 修改沿虚轴变化的路线在原点处做一修改

若系统的n个开环极点中有$v$v 个位于原点，P个在右半平面，剩下n-P个在左半平面，则闭环稳定的充要条件是：

$\omega=(0^+,j0)\rightarrow(0,j0^+)\rightarrow(0,j\infty)$ω=(0+,j0)→(0,j0+)→(0,j∞)，$F(s)$F(s) 的相角变化量为P$\pi$π。

Nyquist判据（由开环频率特性判断闭环稳定性）

1. 若开环无串联积分环节，则闭环稳定 $\iff$⟺ $G(s)H(s)$G(s)H(s)的Nyquist曲线绕点 $(-1,j0)$(−1,j0) 点逆时针转过$P\pi$Pπ

2. 若开环有串联积分环节，则闭环稳定 $\iff$⟺ $G(s)H(s)$G(s)H(s)的增补Nyquist曲线绕点 $(-1,j0)$(−1,j0) 点逆时针转过$P\pi$Pπ

   增补方法：在实轴正或负（具体取决于$\omega=0$ω=0时G(j0)是正数还是负数）半轴无穷远处，以原点为圆心，$\infty$∞为半径逆时针画过 $v\dfrac{\pi}{2}$v2π​，与$\omega$ω从$0^+$0+开始的Nyquist图连接起来 。

• 由于常常为单位负反馈，可直接画$G(j\omega)$G(jω) 的Nyquist图来判断。

易错题

开环传函$G(s)=\dfrac{10(s+1)}{s(s-1)}$G(s)=s(s−1)10(s+1)​，Matlab求出的Nyquist图如下，试判断单位负反馈闭环系统稳定性。

Solution：Matlab画出的是全频段 $\omega=-\infty \rightarrow 0\rightarrow +\infty$ω=−∞→0→+∞，我们只研究正半部分。由于有串联一个积分环节，故需要画出增补的Nyquist图。如下

围绕 $(-1,j0)$(−1,j0)绕过的角度恰为 $P\pi，P=1$Pπ，P=1，系统稳定。