【信号与系统学习笔记】【课程终章】—— 离散傅里叶变换的扩展:z 变换分析2

时间:2024-03-31 11:49:22

上文中,我们学习了《信号与系统》的第十章——z变换。这是我们学院教学大纲所要求的最后一章内容。因此,这将是本系列专栏的最后一篇课程笔记啦!但是文章却不止于此,平时关于信号与系统的一些思考我也会继续发上这个专栏的噢!那么下面我们先回顾一下关于z变换,我们之前都说了啥:

1. 常见的z变换对

【1】必须要记得的两个z变换对:anu[n]a^nu[n] 的z 变换为:11az1\frac{1}{1 - az^{-1}},ROC为:z>a|z| > |a|
【2】anu[n1]-a^nu[-n-1] (左边信号),它的z变换为:11az1\frac{1}{1 - az^{-1}},ROC为:z<a|z| < |a|

2. ROC 的性质

另外,我们还学习了左边、右边、双边信号和他们的ROC所应该具有的特征;

3. z变换的性质


那么,本次博客我们将会探讨以下几点:1. z变换的ROC和系统性质之间的关系 2. 系统的框图描述 3. 单边z变换

一、z变换与系统的联系

1.1 z变换的ROC与系统因果性的关系

大家记忆:如果说一个系统,它的系统函数的z变换的ROC位于最外层极点的外面,同时ROC还包含了无穷远点时,那么这个系统就是因果的。 这里的"ROC还包含了无穷远点",它的意思就是: 不能是 H(z) 的极点。那么什么时候 不是 H(z) 的极点呢?—— 如果 H(z) 表示成了多项式之比的形式,且分母项的阶次大于等于分子项的阶次时, 不是 H(z) 的极点,相反,此时 是 H(z) 的零点。

1.2 z变换的ROC与系统稳定性之间的关系

我们知道,一个系统要想是稳定的,在时域上需要满足下面这个条件:n=+h[n]< \sum_{n=-∞}^{+∞}h[n] < ∞

这不仅仅说明了系统函数绝对可和,他也说明了系统函数的傅里叶变换一定存在。 那么,到了z域,也是类似的,如果系统函数的z变换的ROC包含了单位圆,我们就可以判断这个系统是稳定的。

1.3 系统结构与H(z)的关系

同样地,我们目前所了解的系统基本结构包括——级联、并联和反馈。我们下面分别来看看:
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在时域中,系统级联我们用卷积来描述:h1[n]h2[n]h_1[n]*h_2[n]
在频域中,系统级联我们用乘积来描述:H1(ejω)H2(ejω)H_1(e^{jω})H_2(e^{jω})
那么在复数域里面,我们同样也是用乘积来描述:H1(z)H2(z)H_1(z)H_2(z)

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在时域中,系统级联我们用相加来描述:h1[n]+h2[n]h_1[n]+h_2[n]
在频域中,系统级联我们也用相加来描述:H1(ejω)+H2(ejω)H_1(e^{jω})+H_2(e^{jω})
那么在复数域里面,我们同样也是用相加来描述:H1(z)+H2(z)H_1(z)+H_2(z)

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对于反馈系统,我们直接构造 Y(z)X(z)\frac{Y(z)}{X(z)} ,消除中间变量即可。我们来试试:
首先,反馈的输出我们知道是:Y(z)G(z)Y(z)G(z),那么就有:X(z)Y(z)G(z)=X1(z)X(z) - Y(z)G(z) = X_1(z),有因为:
X1(z)H1(z)=Y(z)X_1(z)H_1(z) = Y(z),联立上面两个式子,将中间量 X1(z)X_1(z) 消掉即可。

二、系统的框图描述

我们知道,对于离散时间系统而言,常常用差分方程来描述。因此我们约定:在框图里面就只能用:加法器、乘以系数和z1z^{-1}(等价于延时一个单位时间)

另外框图也分为直接型框图、级联型框图和并联型框图。我们在考试时要按照题目要求画出对应的图。我们下面介绍一下;

分别画出下面这个系统函数
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的直接型框图、级联型框图和并联型框图

对于初学者而言,也许需要先把差分方程给写出来:y[n]=14y[n1]18y[n2]=x[n] y[n] = \frac{1}{4}y[n-1] - \frac{1}{8}y[n-2] = x[n]
即:y[n]=x[n]14y[n1]+18y[n2] y[n] = x[n] - \frac{1}{4}y[n-1] + \frac{1}{8}y[n-2]
因此,我们就可以画出直接型:
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下面给大家支一招:直接型的通法:
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如果题目给出的多项式比,少了哪一项,我们就可以把哪一项的线给它抹去。

下面是级联型的画法:
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如果要改成并联型,则需要做部分分式展开,框图如下:
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三、单边z变换

单边z变换,顾名思义就是求和区间是[0,+][0, +∞]。如果信号只是在 [0,+][0, +∞] 有值,那么双边z变换和单边 z 变换的结果是一样的。如果信号在 n<0n < 0 时还有值,那么两者的结果就不一样了。

另外值得注意的一点是单边z变换的时移特性:
【1】若 x[n]x[n]的单边z变换为:X(z)X(z),那么x[n1]x[n-1] 的单边z变换为:z1X(z)+x(1)z^{-1}X(z) + x(-1)
【2】若 x[n]x[n]的单边z变换为:X(z)X(z),那么x[n+1]x[n+1] 的单边z变换为:z1X(z)+zx(0)z^{1}X(z) + zx(0)

根据单边z变换的这个性质,我们系统的输出往往就可以分为——零输入响应和零状态响应了。

终于归纳完啦!这一个学期由于疫情的影响变得非常特殊。天天坐在家里,对着博客的页面打字也是一件需要耐得住寂寞的事情哈哈。非常庆幸自己坚持了下来,没有在做前几次笔记之后就打退堂鼓。就因为这样才有了这一片博客的尾声。在此也对阅读我专栏的同学们说一声——加油!!未来可期!