数据库系统（4）：关系模型之关系代数

重点与难点

• 关系代数基本操作：并、差、积、选择、投影、（更名）
• 关系代数扩展操作：交、-连接、自然连接
• 关系代数复杂扩展操作：除、外连接
• 书写关系代数的基本思维训练：“一个集合，施加一个操作得到一个集合，依次施加关系代数操作，进而得到所需结果” “以集合为中心”

一、什么是关系代数

• 关系代数运算的特点
  • 基于集合提供了一系列的关系代数操作，是一种集合思维的操作语言
  • 关系代数操作以一个或多个关系为输入，结果是一个新的关系
  • 用对关系的运算来表达查询，需要指明所用操作，具有一定的过程性
  • 是一种抽象的语言，是学习其他数据库语言，如SQL等的基础

 

• 关系代数操作：集合操作和纯关系操作
  • 集合操作：并、交、差、笛卡尔积
  • 纯关系操作：投影、选择、连接、除 

二、并相容性的概念

• 参与运算的两个关系及其相关属性之间有一定的对应性、可比性或意义关联性
• 定义：关系R和关系S存在相容性，当且仅当：
  • 关系R和关系S的属性数目必须相同
  • 对于任意i，关系R的第i个属性的域必须和关系S的第i个属性的域相同

三、并（Union）操作

• 定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一个关系，记做：，它由或者出现在关系R中，或者出现在S中的元组构成
• 数学表述：，其中t是元组
• 并运算是将两个关系的元组合并成一个关系，在合并时去掉重复的元组
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四、差（Difference）操作

• 定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的并运算结果也是一个关系，记做：，它由出现在关系R中但不出现在S中的元组构成
• 数学表述：，其中t是元组
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五、广义笛卡尔积（Cartesian Product）操作

• 定义：关系R与关系S的广义笛卡尔积（简称广义积或笛卡尔积）运算结果也是一个关系，记做：，它由关系R中的元组与关系S的元组进行所有可能的凭借（或串接）构成。
• 数学描述：
• （行位置无关性和列位置无关性）
• R是n度关系，S是m度关系，是度关系
• R基数是x，S基数是y，基数是
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六、选择（Select）操作

• 定义：给定一个关系R，同时给定一个选择的条件condition（简记con），选择运算结果也是一个关系，记做，它从关系R中选择出满足给定条件condition的元组构成。
• 数学描述：
  • 设，t是R的元组，t的分量记做，或简写为
  • 条件con由逻辑运算符连接比较表达式组成
  • 逻辑运算符：，，或谢伟and，or，not
  • 比较表达式：，其中X，Y是t的分量、常量或简单函数，是比较运算符，
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七、投影（Project）操作

• 定义：给定一个关系R，投影运算结果也是一个关系，记做，它从关系R中选出属性包含在A中的列构成。
• 数学描述：
  • 设
  • 
  • 表示元组t中相应于属性的分量
  • 投影运算可以对原关系的列在投影后重新排列
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八、交（Intersection）操作

• 定义：假设关系R和关系S是并相容的，则关系R与关系S的交运算结果也是一个关系，记做：，它由同时出现在关系R和关系S中的元组构成。
• 数学描述：，其中t是元组
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九、theta连接（-Join,theta-Join）操作及更名操作

• 定义：给定关系R和关系S，R和S的连接运算结果也是一个关系，记做，它由关系R和关系S的笛卡尔积中，选取R中属性A与S中属性B之间满足条件的元组构成。
• 数学描述：
• 
• 

• 等值连接（Equi-Join）
• 当-连接中运算符为“=”时，就是等值连接。
• 数学描述：

十、自然连接（Natural-Join）操作

• 定义：给定关系R和关系S，R和S的自然连接运算结果也是一个关系，记做，它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取相同属性组B上值相等的元组构成。
• 数学描述：
  • 自然连接是一种特殊的等值连接
  • 要求关系R和关系S必须有相同的属性组B
  • R，S属性相同，值必须相等才能连接
  • 要在结果中去掉重复的属性列
• 
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十一、除（Division）操作

• 除法运算经常用于求解“查询... 全部的/所有的...”问题
• 前提条件：给定关系为n度关系，关系为m度关系。如果可以进行关系R与关系S的除运算，当且仅当：属性集是属性集的真子集，即
• 定义：关系R和关系S的除运算结果也是一个关系，记做，分两部分来定义：
  • 设属性集，则有k=n-m，则结果关系是k度（n-m度）关系，由属性构成
  • 再设关系和关系组合形成的一个新元组都是R中的某一个元组
• 数学描述：
• 
• 
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十二、外连接（Outer-Join）操作

• 定义：两个关系R与S进行连接时，如果关系R（或S）中的元组在S（或R）中找不到相匹配的元组，则为了避免该元组信息丢失，从而将该元组与S（或R）中假定存在的全为空值的元组形成连接，放置在结果关系中，这种连接称之为外连接。
• 外连接 = 自然连接（或连接） + 失配的元组（与全空元组形成的连接）
• 外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
  • 左外连接 = 自然连接（或连接） + 左侧表中失配的元组
  • 右外连接 = 自然连接（或连接） + 右侧表中失配的元组
  • 全外连接 = 自然连接（或连接） + 两侧表中失配的元组
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