【线性代数】向量的乘法运算

时间:2024-03-30 08:22:01

最近把向量乘法运算搞混了,故而温习一下。

内容主要来自以下两个文档

 

 

 

0. 综述

常用的,

 

  • a·b=||a||||b||cosθ, 这个是向量的内积,又叫数量积,又叫点积。
  • axb||a||||b||sinθ,这个是向量的外积,又叫向量积,又叫叉积。
  • [a b c] = (axbc , 这个是向量的混合积。

 

 

1. 内积

 

1.1 定义

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1.2 向量内积性质

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注意,向量内积不满足结合律,即一般情况下 (a·b)·c != a·(b·c), 因为向量的内积结果是一个标量

 

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1.3 向量内积的物理意义

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向量内积的物理意义是,力通过位移做功。

 

1.4 向量内积的用途

 

1.4.1 求两个非零向量的夹角 

 

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1.4.2 判断两个非零向量是否垂直

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简单的对应坐标相乘再求和,结果为0就垂直,否则就不垂直。

 

 

2. 外积

2.1 向量外积的定义

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向量外积的结果是垂直于原向量所定义平面的向量。

通过坐标进行外积的直接计算比较复杂,写成行列式的形式,再展开,方便记忆。

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2.2 向量外积的性质

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2.3 向量外积的几何意义

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再除以2的话,就是以 a,b 为边的三角形的面积。

 

2.4 向量外积的用途

2.4.1 求与三角形面积相关的问题

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3. 混合积

 

3.1 向量混合积的定义

三个向量,先外积后内积,最后出个标量结果,就是三个向量的混合积。

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混合积的坐标表达式非常规整优美。

 

3.2 混合积的性质

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3.3 混合积的几何意义

 

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3.4 混合积的用途

3.4.1 求四面体体积相关

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3.4.2 判断三个向量共面

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