二次型

文章目录

• 二次型及其矩阵
• 正交变换法
• 配方法
• 二次型的分类

二次型及其矩阵

1. 二次型的定义：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。
2. 二次型的标准形的定义：只含平方项的二次型。
3. 二次型的矩阵表示法：
   其中A称为二次型的矩阵，A一定是实对称矩阵（一定能够正交相似与标准形）
4. 二次型的秩：其实就是二次型的矩阵的秩
5. 二次型的线性变换的定义：
   
6. 合同的定义：若有$n$n阶可逆阵$P$P使得
   $P^TAP=B$PTAP=B
   则称矩阵A与B合同，记做$A\simeq B$A≃B
   (i)等价、合同、相似的关系：合同一定等价、相似一定等价，但反之均不成立
   (ii)正交相似=合同
   (iii)实对称矩阵一定与某一对角阵合同，而二次型矩阵一定是实对称矩阵，所以二次型矩阵一定与某一对角阵合同
7. 定理：二次型$f=X^TAX$f=XTAX经过可逆线性变换$X=CY$X=CY后变成$f=Y^TBY$f=YTBY，则矩阵$B$B=$C^TAC$CTAC且$r(A)=r(B)$r(A)=r(B)

正交变换法

1. 作用：化二次型为标准形
2. 步骤：
   (i)写出原矩阵$A$A
   (ii)求出所有特征值
   (iii)求出所有特征向量
   (iv)施密特正交化，获得所有正交单位向量
   (v)写出正交方阵$Q$Q，其由正交单位向量构成
   (vi)做正交变换$X=QY$X=QY或者$Y=Q^{-1}X$Y=Q−1X即可
   正交变换保持向量长度不变

配方法

1. 作用：化二次型为标准形
2. 注意点：有平方项先集中平方项（例如有$x_1^2$x12​先集中所有含$x_1$x1​的项），然后凑成完全平方项（例如$(x_1+x_2)^2$(x1​+x2​)2），最终构成完全平方项相加的形式；如果没有平方项需要先凑出平方项的形式（例如$x_i=y_i+y_j$xi​=yi​+yj​，$x_j=y_i-y_j$xj​=yi​−yj​）
3. 适用于简单的二次型

二次型的分类

1. 正定二次型：对于x取任意实数，二次型的值均大于0，则称为正定二次型，其对应矩阵称为正定矩阵，反之称为负定二次型，其矩阵称为负定矩阵。诸如此类的还有准正定二次型（大于等于零），不定二次型（大于零小于零都有可能）
2. 正定的判别法1：使用定义$f=X^TAT>0$f=XTAT>0
3. 正定的判别法2：使用标准形，标准形正定的充要条件是对角线上的值都要大于零
   可逆线性变换不改变二次型的正定性
   推论1：若$A$A正定，则$\left|A\right|>0$∣A∣>0
   推论2：若$A$A正定，则$A$A与单位阵合同
4. 正定的判别法3：使用特征值，二次型如果正定则其特征值全部大于零（特征值就是标准形对角线上的元素）
5. 正定的判别法4：使用顺序主子式
   定义：位于矩阵$A$A左上角的1,2,3,…,n阶子式的行列式就叫做矩阵$A$A的第i阶顺序主子式
   定理：正定的充要条件是矩阵$A$A的各阶顺序主子式都大于零
   这种方法最为推荐