信号的运算和常用基本信号

信号的概念和分类&系统的概念和分类

信号的运算

1. 加减运算
2. 乘法运算
3. 标量乘法
4. 平移变换 对于x(t)->x(t+t0)/x(t-t0) 当 t0为负时，信号右移；当 t0为正时，信号左移
5. 反转变换 反转时，以 t=0 或 n=0 为轴进行反转
6. 连续信号尺度变换
7. 离散信号的尺度变换

压缩时丢失部分信号，称为信号的抽取

膨胀时插入的值可以按需要定义，称为对信号的内插

先抽取后内插时，由于抽取丢失部分信号，因此不能复原，丢失部分信息

​ 8.组合变换

平移后的反转与尺度变换无任何影响

先反转及尺度变换则后继的平移必须乘以相应系数

可以任意顺序进行变换

信号的特性

►奇信号与偶信号

奇信号（圆点对称） 偶信号（纵轴对称）

任何信号都可以分解为一个奇信号和一个偶信号之和

x_o(t)=1/2[x(t)-x(-t)]
x_e(t)=1/2[x(t)+x(-t)]

►周期信号与非周期信号

使上式成立的最小周期称为基波周期，记作T₀或N₀

连续直流信号：基波周期无意义

离散直流信号：基波周期为1

基本信号

• 连续时间正弦信号

• 离散时间正弦序列

  离散时间正弦序列并非都是周期信号

  为周期信号的条件：w₀N=2Πm(m为整数)

  注意：当N为基波周期时，m个正弦周期，离散信号为一个周期

• 连续时间指数信号x(t)=ce^at

  包括单边指数信号

  c=1,a=jΩ₀,周期性复指数信号 周期T=2kΠ/Ω₀(根据欧拉公式)

  c,a都是复数时，为复指数信号（不是周期信号）图像如下图

  复指数信号x（t）的实部和虚部分别是振幅按指数规律变化的正弦波

首先根据著名的欧拉公式：e^(jwt)=cos(wt)+jsin(wt) ；e^(-jwt)=cos(wt)-jsin(wt)。

欧拉公式将复指数与正弦函数联系到了一起: cos(wt)=[e^(jwt)+e(-jwt)]/2; sin(wt)=[e^(jwt)-e(-jwt)]/2j ;

复指数信号的实部由cos(wt)体现，虚部由jsin(wt)体现。

如果我们对一个系统输入复指数信号，输出必定也是复指数信号，而且输出信号的振幅为响应实部与虚部平方和的开方，输出响应的相位为虚部与实部比值的反正切。

• 离散时间指数信号x(n)=caⁿ

  c,a为实常数：实指数序列 当a为负数，则为正负交替序列

  c=1，a=e^jw0:复指数序列

  e^jw0n=cosw₀n+jsinw₀n (0<w₀<2Π)

  为周期序列的条件：w₀N=2Πm m/N为最简分数时的N，称为序列的基波周期，极左N₀ 基波频率表示为w_B=2Π/N₀=w₀/m

谐波

将一组周期性复指数信号组成一个信号集

连续信号：成谐波关系的复指数信号集中，每一个信号都是唯一的；基波周期T_k=2Π/|KΩ₀|

离散信号：成谐波关系的复指数信号集中，只有 个序号相连的唯一；基波周期N
注意！

由欧拉公式，离散信号中，K次和K+N次信号展开后由三角函数可知，两个信号完全相同，因此是同一个信号，也就是说离散信号是周期信号的话，只有N个信号，基波周期是N

►单位阶跃信号

作用1：将信号变为单边信号

作用2：门函数

►单位脉冲序列（离散）

用于取样，n=0或n=m处的离散信号

单位脉冲序列与单位阶跃序列的关系

epsilon（n)=μ（n）-μ（n-1）

►单位冲激函数（连续）

从能量角度定义
$∫σ(t)dt=1$∫σ(t)dt=1

$σ(t)=0 (t≠0)$σ(t)=0(t​=0)

从极限角度定义

CSDN 上看到一篇很好的关于冲激函数的整理