连续信号（六） | 非周期信号的频谱分析 | 从傅里叶级数到傅里叶变换 + 非奇异信号的频谱

（三）奇异信号的频谱

常见的奇异信号有单位冲激信号、单位直流信号、符号函数以及单位阶跃信号，它们往往是组成复杂信号的基本信号。它往往不完全满足狄利赫里条件，因此，通常用求极限的方法得到其频谱。

1. 单位冲激信号

由于冲激函数的抽样特性，有
$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-jwt}dt=e^0=1$∫−∞∞​δ(t)e−jwtdt=e0=1
所以单位冲激信号的频谱为常数1，即
$\delta(t) \overset{F}{\leftrightarrow}1$δ(t)↔F1
以上结果也可由单矩形脉冲取极限得到。如果把单位冲激信号视为幅度为$\frac{1}{\tau}$τ1​，宽度为$\tau$τ的矩形脉冲当$\tau \to 0$τ→0时的极限，由前面的讨论可知，其频谱可由下式求出
$X(w)=F[\delta(t)]=lim_{\tau\to 1}\frac{1}{\tau}·\tau Sa(\frac{w\tau}{2})=1$X(w)=F[δ(t)]=limτ→1​τ1​⋅τSa(2wτ​)=1
在时域中冲激信号在$t=0$t=0处幅度发生巨大的变化，在频域中表现为具有极其丰富的频率成分，以至频谱占据整个频率域，且成均匀分布，常称之为均匀频谱或白色频谱，如下图所示。

2. 单位直流信号

幅度为1的直流信号表示为
$x(t)=1 \quad -\infty<t<\infty$x(t)=1−∞<t<∞
显然该信号不满足绝对可积条件，可以把它看做双边指数信号$e^{-a|t|}(a>0)$e−a∣t∣(a>0)当$a\to 0$a→0时的极限，如下图，$a_1>a_2>a_3>a_4=0$a1​>a2​>a3​>a4​=0（单位直流信号。因此单位直流信号的傅里叶变换是$e^{-a|t|}(a>0)$e−a∣t∣(a>0)的频谱当$a\to 0$a→0时的极限，如下图。

前面已求得
$F[e^{-a|t|}]=\frac{2a}{a^2+w^2}$F[e−a∣t∣]=a2+w22a​
故有
$X(w)=lim_{a\to 0}\frac{2a}{a^2+w^2}= \begin{cases} 0 & w\neq 0 \\ \infty & w=0 \end{cases}$X(w)=lima→0​a2+w22a​={0∞​w​=0w=0​
表明$X(w)$X(w)是w的冲激函数，其强度为
$lim_{a\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2a}{a^2+w^2}dw=lim_{a\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2}{1+(\frac{w}{a})^2}d(\frac{w}{a}) \\ =lim_{a\to 0}2arctan(\frac{w}{a})|_{-\infty}^{\infty}=2\pi$lima→0​∫−∞∞​a2+w22a​dw=lima→0​∫−∞∞​1+(aw​)22​d(aw​)=lima→0​2arctan(aw​)∣−∞∞​=2π
所以有$X(w)=2\pi \delta(w)$X(w)=2πδ(w)，即
$1 \overset{F}{\leftrightarrow} 2\pi\delta(w)$1↔F2πδ(w)

3. 符号函数信号

符号函数记作$sgn(t)$sgn(t)，其定义为
$sgn(t)= \begin{cases} -1 & t<0 \\ 0 & t=0 \\ 1 & t>0 \end{cases}$sgn(t)=⎩⎪⎨⎪⎧​−101​t<0t=0t>0​
显然也不满足绝对可积条件，与单位直流信号类似，可以把符号函数信号看成是双边奇指数信号当$a\to 0$a→0时的极限，如下图所示，$a_1>a_2>a_3>a_4=0$a1​>a2​>a3​>a4​=0。因此符号函数信号的傅里叶变换应该是双边奇指数信号的频谱当$a\to 0$a→0时的极限，如下图所示。

双边奇指数信号的频谱为$-j\frac{2w}{a^2+w^2}$−ja2+w22w​，故有
$X(w)=lim_{a\to 0 }[-j\frac{2w}{a^2+w^2}]= \begin{cases} \frac{2}{jw} & w\neq 0 \\ 0 & w=0 \end{cases}$X(w)=lima→0​[−ja2+w22w​]={jw2​0​w​=0w=0​
即
$sgn(t)\leftrightarrow \frac{2}{jw}(w\neq 0)$sgn(t)↔jw2​(w​=0)

4. 单位阶跃信号

该信号也不满足绝对可积的条件，可把它视为单边指数信号当$a\to 0$a→0时的极限，因此其频谱应该是单边指数信号的频谱当$a\to 0$a→0时的极限。已求得单边指数信号的频谱为$\frac{1}{a+jw}$a+jw1​，故有
$X(w)=lim_{a\to 0}\frac{1}{a+jw} \\ =lim_{a\to 0}\frac{a}{a^2+w^2}+lim_{a\to 0}j\frac{-w}{a^2+w^2}$X(w)=lima→0​a+jw1​=lima→0​a2+w2a​+lima→0​ja2+w2−w​
式中，实部为
$lim_{a\to 0}\frac{a}{a^2+w^2}= \begin{cases} 0 & w\neq 0 \\ \infty & w=0 \end{cases}$lima→0​a2+w2a​={0∞​w​=0w=0​
虚部为
$lim_{a\to 0}\frac{-jw}{a^2+w^2}= \begin{cases} \frac{1}{jw} & w\neq 0 \\ 0 & w=0 \end{cases}$lima→0​a2+w2−jw​={jw1​0​w​=0w=0​
可见$X(w)$X(w)在$w=0$w=0处为实冲激函数，其强度为
$lim_{a\to 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{a}{a^2+w^2}dw=\pi$lima→0​∫−∞∞​a2+w2a​dw=π
当$w\neq 0$w​=0处为虚函数$\frac{1}{jw}$jw1​，所以有$X(w)=\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}$X(w)=πδ(w)+jw1​，即
$u(t) \overset{F}{\leftrightarrow} \pi \delta(w)+\frac{1}{jw}$u(t)↔Fπδ(w)+jw1​