三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

时间:2024-03-20 17:45:46
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样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法,三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式,介绍一下三次样条插值的原理,并附C语言的实现代码。

1. 三次样条曲线原理

假设有以下节点

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

 

 

1.1 定义

样条曲线三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点,共有n个区间,三次样条方程满足以下条件:

a. 在每个分段区间三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) (i = 0, 1, …, n-1,x递增), 三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 都是一个三次多项式。

b. 满足三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) (i = 0, 1, …, n )

c. 三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) ,导数三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) ,二阶导数三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 在[a, b]区间都是连续的,即三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)曲线是光滑的。

所以n个三次多项式分段可以写作:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) ,i = 0, 1, …, n-1

其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。

1.2 求解

已知:

a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n

b. 每一分段都是三次多项式函数曲线

c. 节点达到二阶连续

d. 左右两端点处特性(自然边界,固定边界,非节点边界)

根据定点,求出每段样条曲线方程中的系数,即可得到每段曲线的具体表达式。

 

插值和连续性:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言), 其中 i = 0, 1, …, n-1

微分连续性:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) , 其中 i = 0, 1, …, n-2

样条曲线的微分式:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

 

将步长三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 带入样条曲线的条件:

a. 由三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) (i = 0, 1, …, n-1)推出

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 

b. 由三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) (i = 0, 1, …, n-1)推出

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

c. 由 三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) (i = 0, 1, …, n-2)推出

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

由此可得:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

d. 由 三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) (i = 0, 1, …, n-2)推出

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

 

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) ,则

a. 三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 可写为:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) ,推出

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

b. 将ci, di带入 三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 可得:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 

c. 将bi, ci, di带入三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) (i = 0, 1, …, n-2)可得:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 

端点条件

由i的取值范围可知,共有n-1个公式, 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组,还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的,3种比较常用的限制如下。

a. *边界(Natural)

首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力,即三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 。具体表示为三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

则要求解的方程组可写为:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 

 

b. 固定边界(Clamped)

首尾两端点的微分值是被指定的,这里分别定为A和B。则可以推出

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

将上述两个公式带入方程组,新的方程组左侧为

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

c. 非节点边界(Not-A-Knot)

指定样条曲线的三次微分匹配,即

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

根据三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) ,则上述条件变为

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

新的方程组系数矩阵可写为:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

 

 

右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

 

1.3 算法总结

假定有n+1个数据节点

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

a. 计算步长三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) (i = 0, 1, …, n-1)

b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程

c. 解矩阵方程,求得二次微分值三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)。该矩阵为三对角矩阵,具体求法参见我的上篇文章:三对角矩阵的求解

d. 计算样条曲线的系数:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

其中i = 0, 1, …, n-1

e. 在每个子区间三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 中,创建方程

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言) 

 

2. C语言实现

用C语言写了一个三次样条插值(自然边界)的S-Function,代码如下:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)View Code
#define S_FUNCTION_NAME  cubic
#define S_FUNCTION_LEVEL 2
#include
"simstruc.h"
#include
"malloc.h" //方便使用变量定义数组大小

static void mdlInitializeSizes(SimStruct *S)
{
/*参数只有一个,是n乘2的定点数组[xi, yi]:
* [ x1,y1;
* x2, y2;
* ..., ...;
* xn, yn;
*/
ssSetNumSFcnParams(S,
1);
if (ssGetNumSFcnParams(S) != ssGetSFcnParamsCount(S)) return;

ssSetNumContStates(S,
0);
ssSetNumDiscStates(S,
0);

if (!ssSetNumInputPorts(S, 1)) return; //输入是x
ssSetInputPortWidth(S, 0, 1);
ssSetInputPortRequiredContiguous(S,
0, true);
ssSetInputPortDirectFeedThrough(S,
0, 1);

if (!ssSetNumOutputPorts(S, 1)) return; //输出是S(x)
ssSetOutputPortWidth(S, 0, 1);

ssSetNumSampleTimes(S,
1);
ssSetNumRWork(S,
0);
ssSetNumIWork(S,
0);
ssSetNumPWork(S,
0);
ssSetNumModes(S,
0);
ssSetNumNonsampledZCs(S,
0);

ssSetSimStateCompliance(S, USE_DEFAULT_SIM_STATE);

ssSetOptions(S,
0);
}

static void mdlInitializeSampleTimes(SimStruct *S)
{
ssSetSampleTime(S,
0, CONTINUOUS_SAMPLE_TIME);
ssSetOffsetTime(S,
0, 0.0);
}



#define MDL_INITIALIZE_CONDITIONS
#if defined(MDL_INITIALIZE_CONDITIONS)
static void mdlInitializeConditions(SimStruct *S)
{
}
#endif



#define MDL_START
#if defined(MDL_START)
static void mdlStart(SimStruct *S)
{
}
#endif /* MDL_START */


static void mdlOutputs(SimStruct *S, int_T tid)
{
const real_T *map = mxGetPr(ssGetSFcnParam(S,0)); //获取定点数据
const int_T *mapSize = mxGetDimensions(ssGetSFcnParam(S,0)); //定点数组维数
const real_T *x = (const real_T*) ssGetInputPortSignal(S,0); //输入x
real_T *y = ssGetOutputPortSignal(S,0); //输出y
int_T step = 0; //输入x在定点数中的位置
int_T i;
real_T yval;

for (i = 0; i < mapSize[0]; i++)
{
if (x[0] >= map[i] && x[0] < map[i + 1])
{
step
= i;
break;
}
}

cubic_getval(
&yval, mapSize, map, x[0], step);
y[
0] = yval;

}

//自然边界的三次样条曲线函数
void cubic_getval(real_T* y, const int_T* size, const real_T* map, const real_T x, const int_T step)
{
int_T n
= size[0];

//曲线系数
real_T* ai = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T
* bi = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T
* ci = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T
* di = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));

real_T
* h = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); //x的??

/* M矩阵的系数
*[B0, C0, ...
*[A1, B1, C1, ...
*[0, A2, B2, C2, ...
*[0, ... An-1, Bn-1]
*/
real_T
* A = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T
* B = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T
* C = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T
* D = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //等号右边的常数矩阵
real_T* E = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //M矩阵

real_T
* M = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n)); //包含端点的M矩阵

int_T i;

//计算x的步长
for ( i = 0; i < n -1; i++)
{
h[i]
= map[i + 1] - map[i];
}

//指定系数
for( i = 0; i< n - 3; i++)
{
A[i]
= h[i]; //忽略A[0]
B[i] = 2 * (h[i] + h[i+1]);
C[i]
= h[i+1]; //忽略C(n-1)
}


//指定常数D
for (i = 0; i<n - 3; i++)
{
D[i]
= 6 * ((map[n + i + 2] - map[n + i + 1]) / h[i + 1] - (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i]);
}


//求解三对角矩阵,结果赋值给E
TDMA(E, n-3, A, B, C, D);

M[
0] = 0; //自然边界的首端M为0
M[n-1] = 0; //自然边界的末端M为0
for(i=1; i<n-1; i++)
{
M[i]
= E[i-1]; //其它的M值
}

//?算三次?条曲?的系数
for( i = 0; i < n-1; i++)
{
ai[i]
= map[n + i];
bi[i]
= (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i] - (2 * h[i] * M[i] + h[i] * M[i + 1]) / 6;
ci[i]
= M[i] / 2;
di[i]
= (M[i + 1] - M[i]) / (6 * h[i]);
}

*y = ai[step] + bi[step]*(x - map[step]) + ci[step] * (x - map[step]) * (x - map[step]) + di[step] * (x - map[step]) * (x - map[step]) * (x - map[step]);

free(h);
free(A);
free(B);
free(C);
free(D);
free(E);
free(M);
free(ai);
free(bi);
free(ci);
free(di);

}

void TDMA(real_T* X, const int_T n, real_T* A, real_T* B, real_T* C, real_T* D)
{
int_T i;
real_T tmp;

//上三角矩阵
C[0] = C[0] / B[0];
D[
0] = D[0] / B[0];

for(i = 1; i<n; i++)
{
tmp
= (B[i] - A[i] * C[i-1]);
C[i]
= C[i] / tmp;
D[i]
= (D[i] - A[i] * D[i-1]) / tmp;
}

//直接求出X的最后一个值
X[n-1] = D[n-1];

//逆向迭代, 求出X
for(i = n-2; i>=0; i--)
{
X[i]
= D[i] - C[i] * X[i+1];
}
}


#define MDL_UPDATE
#if defined(MDL_UPDATE)
static void mdlUpdate(SimStruct *S, int_T tid)
{
}
#endif

#define MDL_DERIVATIVES
#if defined(MDL_DERIVATIVES)
static void mdlDerivatives(SimStruct *S)
{
}
#endif

static void mdlTerminate(SimStruct *S)
{
}

#ifdef MATLAB_MEX_FILE
#include
"simulink.c"
#else
#include
"cg_sfun.h"
#endif

 

3. 例子

以y=sin(x)为例,  x步长为1,x取值范围是[0,10]。对它使用三次样条插值,插值前后对比如下:

三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

 


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