理论知识:电感感应电压公式,纯电感正弦电路感应电压公式,纯电容正弦电路电流公式的推导

时间:2024-03-16 17:42:56

电感感应电压公式v(t)=L*di(t)/dt的推导

推导一:

衡量电感线圈充磁多少的单位是磁链——Ψ。电流越大,电感线圈被冲磁链就越多,即磁链与电流成正比,即Ψ=L*I。对一个指定电感线圈,L是常量。

因此,用L=Ψ/I表达电感线圈的电磁转换能力,称L为电感量。

电感量的微分表达式为:L=dΨ(t)/di(t)推导:dΨ(t) = L * di(t)  公式一

根据电磁感应原理,磁链变化产生感应电压,磁链变化越大则感应电压越高,即v(t)=dΨ(t)/dt。公式二

综合上面两公式得到:v(t)=L*di(t)/dt,即电感的感应电压与电流的变化率(对时间的导数)成正比,电流变化越快则感应电压越高。

推导

法拉第电磁感应定律E=N*dΦ/dt;  公式一

在电感线圈里总磁通N*Φ=L*i;  =》  Φ = L*i/N  公式二

公式二代入公式一,所以得到

E=N*dΦ/dt

  = N*d(L*i/N)/dt

  = N*L/N*di/dt

  = L*di/dt;

推导三:(输入为正弦波的情况)

先是从法拉第电磁感应定律公式 eN*ΔΦ / Δt 出发,由于纯电感线圈通过正弦交流电时,电流产生的磁场的磁感应强度B与电流 i 成正比,且线圈所围面积已经确定(不变),所以穿过线圈的磁通量Φ就与B成正比,得变化量之间的关系有 ΔΦ∝ΔB∝Δi ,∝是成比例的符号。

因此,从 eN*ΔΦ / Δt 可推导出 e∝Δi / Δt ,即自感电动势与线圈中电流的变化率成正比,比例系数就是L,得 eL*(Δi / Δt,在时间 Δt 趋于0的情况下,就可写成 eL*( di / dt )

纯电感正弦交流电路感应电压u =Um*sin(ωt + 90°)的推导:

理论知识:电感感应电压公式,纯电感正弦电路感应电压公式,纯电容正弦电路电流公式的推导

推导:

电感感应电压公式u = L*di/dt; 将i = Im*sin(2*π*f*t)代入公式中,则:

u = L*di/dt

 = L*d{Im*sin(2*π*f*t)}/dt  将常量Im提到微分式外面,得:

 = L*Im*dsin(2*π*f*t)/dt      求导,sin(2*π*f*t)求导得到,2*π*f*cos(2*π*f*t)。得:

= L*Im*2*π*f*cos(2*π*f*t)   因为容抗XL = ω*L = 2*π*f*L ; 所以Um = XL*Im = L* Im *2*π*f ,代入式中,得:

= Um*cos(2*π*f*t)          根据三角函数公式:cos (a) = sin ( pi/2 + a ) = sin ( 90°+ a ),得:

= Um*sin(ωt + 90°)

所以,电感上电流落后感应电压90°相位,或者说感应电压超前电流90°相位。 直观理解:设想一个电感与电阻串联充磁。从充磁过程看,充磁电流的变化引起磁链的变化,而磁链的变化又产生感应电动势和感应电流。根据楞次定律,感应电流方向与充磁电流相反,延缓了充磁电流的变化,使得充磁电流相位落后于感应电压。

 

纯电容正弦交流电路电流公式i = Im*sin(ωt+ 90°)的推导:

理论知识:电感感应电压公式,纯电感正弦电路感应电压公式,纯电容正弦电路电流公式的推导

推导:

电荷数与电势差(电压)成正比,即Q=C*V。对指定电容,C是常量。因此,用C=Q/V表达电容极板贮存电荷的能力,称C为电容量。

电容量的微分表达式为:C = dQ(t)/dv(t)。=》 dQ(t) = C* dv(t)  公式一

因为电流等于单位时间内电荷数的变化量,即i(t) = dQ(t)/d(t),  公式二

把公式一代入公式二得到:i(t) = dQ(t)/d(t) = C*dv(t)/d(t),       公式三

即电容电流与其上电压的变化率(对时间的导数)成正比,电压变化越快则电流越大。

i = C*dv/dt                       根据公式三

 = C*d{ Um*sin(ωt)}/dt            v = Um*sin(ωt),并代入式中

 = C*Um*d sin(ωt)/dt              Um提出来

 = C*Um*ω* cos(ωt)               sin(ωt)求导得到ω* cos(ωt)       

 = Im* cos(ωt)                     因为容抗XC=1/(ω*C)Im =Um/XC = Um*ω*C,

 = Im* sin(ωt+90°)                三角函数公式:cos(ωt) = sin(ωt+90°