《有限元分析基础教程》（曾攀）笔记二-梁单元方程推导（一）：简支梁挠曲线解析解
上图是《有限元分析基础教程》中的图。
这是《材料力学》（孙训方）里面给出的图。
之所以给出这两幅图，是因为在推导公式的时候，第一幅图让我误解了：红箭头标注的微端中的外荷载$\bar{p(x)}$，看起来像是面荷载，实际推导公式的时候，$\bar{p(x)}$是个线荷载。由于两幅图中的一些符号不一致，我下面的推导均采用曾攀老师书中的符号，有的时候也将$\bar{p(x)}$简写成$\bar{p}$。
我们取梁的挠度方程$v(x)$作为整个推导的基本量，同时也是整个推导的核心，所有的推导其实都是围绕这个$v(x)$来展开。至于为什么要将$v(x)$作为基本量，按照我个人的理解：
- 首先，对于梁，最关心当然是承受外力作用下的变形，也就是挠度沿着梁长度方向的变化规律，即$v(x)$。
- 如果我们建立了挠度的微分方程$v(x)$，那么在梁的两端的挠度是已知的，也就是有非常明确的边界条件的。
因为图中梁只受到外力荷载$\bar{p(x)}$的作用，所以建立挠度方程$v(x)$关键就是建立挠度$v(x)$与外荷载$\bar{p(x)}$之间的关系。这个关系的建立可以很直观的想到对于微段运用$Y$方向的合力平衡，即
\begin{equation}
(Q+dQ)+\bar{p(x)}dx-Q=0
\end{equation}
化简后，可以得到
\begin{equation} \label{剪力与外荷载关系}
\dfrac{dQ}{dx}+\bar{p(x)=0}
\end{equation}
可以看到我们并没有直接得到挠度$v(x)$与外荷载$\bar{p(x)}$之间的直接关系，而是得到了外荷载$\bar{p(x)}$与剪力$Q$之间的关系。下面就是如何建立剪力$Q$与挠度$v(x)$的关系，事实上这二者同样也没有直接的关系，而是需要绕一大圈才能找到二者的联系。
我们考察微段中弯矩的平衡，对于微段的最左端求弯矩可以得到
\begin{equation}
(M+dM)-M-(Q+dQ)\cdot dx+\bar{p(x)}\cdot dx\cdot\dfrac{dx}{2}=0
\end{equation}
上式中$dQ\cdot dx$和$\bar{p(x)}\cdot dx\cdot\dfrac{dx}{2}$都是二阶无穷小量，可以忽略，于是上式就变成了
\begin{equation} \label{弯矩与剪力关系}
Q=\dfrac{dM}{dx}
\end{equation}
通过式\ref{剪力与外荷载关系}和式\ref{弯矩与剪力关系}，我们可以建立弯矩$M$与外荷载之间的关系。另外这两个公式也揭示了弯矩、剪力和荷载集度之间的关系：
剪力图中某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；
弯矩图上某点处的切线斜率等于改点处剪力的大小。
下面继续考察弯矩$M$，考虑梁的纯弯曲，参考孙训方老师《材料力学》中的下图：
考察横截面上的外力平衡，横截面上只收到绕Z方向的外力偶M作用，所以正应力$\sigma$在横截面上积分产生的弯矩应该与外力偶相等，即
\begin{equation} \label{弯矩与应力关系}
M=\underset{A}{\int}\sigma\cdot y\cdot dA
\end{equation}
在式\ref{弯矩与应力关系}中我们找到了弯矩与应力的关系。继续开脑洞：应力与应变存在关系，应变与曲率存在关系（通过梁弯曲后的几何关系可以得到二者的关系），曲率与挠度方程存在关系（大一高数的知识）。至此，饶了一大圈，我们终于找了挠度$v(x)$与外荷载$\bar{p(x)}$之间的关系。总结一下，就是下面这个关系：
\[
挠度v(x)\rightarrow曲率\kappa\rightarrow应变\varepsilon\rightarrow应力\sigma\rightarrow弯矩 M\rightarrow 剪力Q\rightarrow外荷载\bar{p(x)}
\]
下面推导上述关系中挠度$v(x)$到应力$\sigma$之间的关系。
首先，挠度$v(x)$与曲率$\kappa$的关系为
\begin{equation} \label{挠度与曲率关系}
\kappa=\dfrac{v^{\'\'}(x)}{(1+v^{\'}(x)^{2})^{3/2}}=v^{\'\'}(x)
\end{equation}
对于梁纯弯曲下取微段，如下图
对于距离中性层距离为$y$处的纤维层，它的应变$\varepsilon$和半径$R$有如下关系
\begin{equation} \label{应变与半径关系}
\varepsilon=\dfrac{(R-y)\cdot d\theta-R\cdot d\theta}{R\cdot d\theta}=-\dfrac{y}{R}\end{equation}
而我们知道，曲率$\kappa$和半径$R$互为倒数关系，即
\begin{equation} \label{曲率与半径关系}
\kappa=\dfrac{1}{R}
\end{equation}
根据虎克定律，应变与应力直接的关系为
\begin{equation} \label{应力与应变关系}
\sigma=E\varepsilon
\end{equation}
通过公式\ref{挠度与曲率关系}、\ref{应变与半径关系}、\ref{曲率与半径关系}、\ref{应力与应变关系}可以得到
\begin{equation} \label{应力与挠度关系}
\sigma=-E\cdot v^{\'\'}(x)\cdot y
\end{equation}
把公式\ref{应力与挠度关系}带入式\ref{弯矩与应力关系}，可以得到
\begin{equation} \label{弯矩与挠度关系}
M=\underset{A}{-\int}E\cdot v^{\'\'}(x)\cdot y^{2}dA=-E\cdot v^{\'\'}(x)\underset{A}{\int}y^{2}dA=-EI\cdot v^{\'\'}(x)
\end{equation}
将式\ref{弯矩与挠度关系}带入\ref{弯矩与剪力关系}，再代入\ref{剪力与外荷载关系}，即可得到最终挠度$v(x)$与外荷载$\bar{p(x)}$之间的关系，即
\begin{equation} \label{挠度与外荷载关系}
-EIv^{(4)}(x)+\bar{p(x)}=0
\end{equation}
另外还可以根据几何关系得到挠曲线方程$v(x)$与梁上转角$\theta$的关系，在小变形的情况下，我们有
\begin{equation} \label{挠度与转角关系}
\theta\thickapprox tan\theta=v^{\'}(x)
\end{equation}
由式\ref{挠度与转角关系}可知，在某一点处挠曲线方程的导数表示转角的大小。
精确解法（一）、直接将带外荷载的微分方程积分求解
我们可以把式\ref{挠度与外荷载关系} 积分，即可得到挠曲线的方程$v(x)$，当然积分的过程中会产生未知系数，由于有四次积分，所以会产生四个未知系数。为了求出这四个待定系数，我们有四个边界条件，分别是
- 在两端的位移为0，即$v(0)=0$和$v(L)=0$;
- 在两端的弯矩为0，即$v^{\'\'}(0)=0$和$v^{\'\'}(L)=0$
式\ref{挠度与外荷载关系} 经过四次积分后，可以得到
\begin{equation}
v(x)=\dfrac{P_{0}}{EI}(\dfrac{1}{24}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})\end{equation}
把四个边界条件代入上式，可以得到最终的方程
\begin{equation} \label{挠曲线方程}
v(x)=\dfrac{P_{0}}{24EI}(x^{4}-2Lx^{3}+L^{3}x)
\end{equation}
精确解法（二）、直接将带外荷载的微分方程积分求解
精确解法（一）中的微分方程里面是含有外荷载的，所以这个方程仅适用于简支梁承受均布荷载的情况，对于其他外荷载的情况不再适用，所以我们需要寻找另外一种通用的方法。
注意到式\ref{弯矩与挠度关系} 表达了弯矩与挠曲线之间的微分关系，由于弯矩可知直接用含有$x$的方程表达出来，然后再根据式\ref{弯矩与挠度关系} 直接积分即可。
对于简支梁承受均布荷载，弯矩方程为
\begin{equation}
M(x)=-\cfrac{1}{2}px^{2}+\dfrac{1}{2}pLx
\end{equation}
将上式带入式\ref{弯矩与挠度关系}积分，然后根据两端挠度为0的位移条件，即可求出挠曲线方程，结果与式式\ref{挠曲线方程}式一样的，过程我就不写了。
总结
上面推导了在满足一些假设的情况下，简支梁的挠曲线方程的解析解，下一篇，我将会写如何根据虚功原理和最小势能原理求解简支梁的挠曲线方程的近似解。