博弈论(Game Theory) - 04 - 纳什均衡
开始
纳什均衡和最大最小定理是博弈论的两大基石。
博弈不仅仅是对抗，也包括合作和迁就，纳什均衡能够解决这些问题，提供了在数学上一个完美的理论。
纳什均衡的中心思想是主动选择一个对大家都有利的战略，迫使其他玩家选择相同的战略组合。
纳什均衡
示例
这里，我们使用“战略式”表述，如下：
| B | ||||
|---|---|---|---|---|
| L | M | R | ||
| A | U | 3,2 | 4,7 | 5,1 |
| H | 6,1 | 2,8 | 1,1 | |
| D | 3,7 | 8,9 | 10, 4 | |
纯战略纳什均衡的划线法
注：我用红色代替了划线。
在玩家A的每一个战略中，找到玩家B的最大支付，并在其下面划线。
比如：玩家A的战略U中，玩家B的最大支付是7。
然后
在玩家B的每一个战略中，找到玩家A的最大支付，并在其下面划线。
最后，都有划线的战略组合就是纯战略纳什均衡。
概念
- 纳什均衡
对于n人战略式表述博弈\(G = \{ S_1, \cdots, S_n; u_1, \cdots, u_n\}\)，若战略组合\(s^*=(s_1^*, \cdots, s_n^*)\)满足如下条件，则称\(s^*\)是一个纳什均衡：
\(u_1(s_i^*, s_{-1}^*) \ge u_1(s_i, s_{-1}^*) \ \forall s_i \in S_i, i-1, \cdots, n\)
或者用另一种表达方式：当且仅当\(s_i^*\)是下述最大化问题的解时，\(s^*\)是一个纳什均衡
\(s_i^* = \underset{s_i}{argmax} \ u_i(s_1^*, \cdots, s_{i-1}^*, s_i, s_{i+1}^*, \cdots, s_n^*), \ i=1, \cdots, n; s_i \in S_i\)
纳什均衡的含义是说：当局中人在某一选定的战略组合下都没有积极性偏离各自已选定的战略时，该战略组合就构成一个纳什均衡。
纳什均衡对应的战略组合是：战略组合的每个特定玩家策略都是（当其他玩家做出这个战略组合对应的选择时）其最优解。
参考
- 博弈论与经济模型， 蒲勇健。