题目描述
你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。
题解
其实题目的意思就是让你求这张图的生成树个数。
下面是玄学时间：
我们定义基尔霍夫矩阵为该图的度数矩阵-邻接矩阵。
度数矩阵：a[i][i]为i点的度数，其余位置全部为0。
邻接矩阵：a[i][j]为i到j的边的个数。
然后生成树的个数就是这个矩阵去掉第n行第n列完后的行列式的值。
行列式怎么求。
通过行列式的性质我们可以发现它和高斯消元非常像。
比如说用某行的倍数去减另一行，行列式不变。
某一行乘上某个数，行列式的值也会乘上某个数。
交换两列，行列式取反。
除了最后一条以外，其他的和高斯消元一模一样，所以我们可以直接把它消成上三角矩阵。
然后把对角线元素乘起来就是答案了。
证明？hehe
这里有一个大佬的证明。
细节
这题模数不是质数，需要辗转相除，然后要用一些操作来避免出现/0的操作。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 82
using namespace std;
typedef long long ll;
char s[N][N];
ll a[N][N];
int tot,n,m,id[N][N],lin[N][N];
ll ans;
const int mod=1e9;
const int dx[]={,,,-};
const int dy[]={,-,,};
inline int rd(){
int x=;char c=getchar();bool f=;
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=(x<<)+(x<<)+(c^);c=getchar();}
return f?-x:x;
}
inline void MOD(ll &a){a=(a%mod+mod)%mod;}
inline void gauss(int tot){
ans=;
for(int i=;i<=tot;++i){
for(int j=i+;j<=tot;++j){
while(a[j][i]){
ll t=a[i][i]/a[j][i];
for(int k=i;k<=tot;++k){
MOD(a[i][k]-=a[j][k]*t);
swap(a[i][k],a[j][k]);
}
ans*=-;
}
}
}
for(int i=;i<=tot;++i)MOD(ans*=a[i][i]);
}
int main(){
n=rd();m=rd();
for(int i=;i<=n;++i)scanf("%s",s[i]+);
for(int i=;i<=n;++i)for(int j=;j<=m;++j)if(s[i][j]=='.')id[i][j]=++tot;
for(int i=;i<=n;++i)
for(int j=;j<=m;++j)if(s[i][j]=='.'){
for(int k=;k<;++k){
if(s[i+dx[k]][j+dy[k]]=='.')a[id[i][j]][id[i][j]]++,lin[id[i][j]][id[i+dx[k]][j+dy[k]]]++;
}
}
for(int i=;i<=tot;++i)for(int j=;j<=tot;++j)a[i][j]-=lin[i][j];
gauss(tot-);
cout<<ans;
return ;
}