使用辗转相除法求两个数的最大公因数(python实现)

时间:2021-07-10 21:30:08

数学背景:


整除的定义:

    任给两个整数a,b,其中b≠0,如果存在一个整数q使得等式

                                       a = bq

    成立,我们就说是b整除a,记做b|a.

  性质1:如果c|a,c|b,且对于任意的整数m,n,则有c|ma + nb

  证明: 利用上述定义进行证明

            因为c|a ,c|b,所以有a = c*q1,b = c*q2,

            对于任意m,n有,ma+nb = m(c*q1) + n(c*q2) = c(m*q1 + n*q2),

            因为m*q1 +n*q2为整数,很显然有 c|ma + nb .

  带余除法: 设a,b 是两个整数,其中b > 0 ,则存在两个唯一的整数q和r,使得

                              a = b*q + r,          0≤ r < b

                   成立.

  公因数和最大公因数的定义:

    设a1,a2,a3,......,an是n个不全为0的整数,若整数d是它们之中每一个数的因数,那么d就叫做a1,a2,a3,......,an的一个公因数.这时它们的公因数只有有限个,整数a1,a2,a3,......,an的公因数中最大的一个叫做最大公因数,记做(a1,a2,a3,......,an),若(a1,a2,a3,......,an)=1,我们说a1,a2,a3,......,an互素.

  定理1:设a,b,c是任意三个不全为零的整数,且 a = bq + c,其中q是整数,则(a,b) = (b,c).也就是说,a和b的最大公因数等于b和c的最大公因数.

  证明: 因为(a,b)是a和b的最大公因数,所以(a,b)|a,且(a,b)|b,由于c = a - bq,所以由性质1可以知道(a,b)|c,所以可以看到,(a,b)是b,c的一个公因数,而由公因数的定义可以知道 (b,c)是b,c的最大公因数,任何公因数都是小于最大公因数的,所以(a,b) ≤ (b,c).

    同样的道理可以证明 (b,c) ≤(a,b).

            因此有(a,b) = (b,c)

辗转相除法:给任意整数 a > 0,b >0, 由带余除法,有以下等式

                    a = b*q1 + r1,     0 < r1 < b,

                    b = r1*q2 + r2,    0 < r2 < r1,

                    r1 = r2*q3 + r3,   0 < r3 < r2,

                    ......

                    rn-2  =  rn-1*q+ rn , 0< r<rn-1

                    rn-1  = r*qn+1  + rn+1  ,rn+1 = 0

                   因为 b> r1 > r2 > r3 >....,故经过有限次带余除法以后,总可以得到一个余数为0,上面rn+1 = 0

                  由上面的定理1可以知道,(a,b) = (b,r1) = (r2,r1) = ....= (rn-2,rn-1) = (rn-1,rn) = (rn,0) = rn

                  所以要想求a,b得最大公因数,就需要不断的使用带余除法,直到余数为0,就可以得到a,b的最大公因数.

举例:


    使用辗转相除法求 288 和 158 的最大公因数

    288  = 158 * 1 + 130

    158  = 130 * 1 + 28

    130 =  28 * 4 + 18

    28 =18 * 1 + 10

    18 = 10 * 1 + 8

    10 = 8 * 1 + 2

    8 = 2 * 4

    所以(288,158) = (158,130) = (130,28) = (28,18)=(18,10)=(10,8)=(8,2)=(2,0)=2

python 实现:


递归

def gcd(a,b):
if b == 0 : return a
return gcd(b,a % b)

迭代

def gcd(a,b):
while b != 0:
a,b = b,a%b
return a