题目描述
给定\(n\)个数$a_i$，起初第\(i\)个数在第\(i\)个集合。有三种操作（共\(m\)次）：
1 $u$ $v$ 将第$u$个数和第$v$个数所在集合合并
2 $u$ 将第$u$个数所在集合所有数加1
3 $u$ $k$ $x$ 问$u$所在集合有多少个数模$2^k$余$x$。
数据范围：\(n,m \le 500000,a_i \le 10^9, 0 \le k \le 30\)。
简要题解
显然此题可以用set加启发式合并在\(O(n \log ^2 n)\)时间复杂度解决本题，但此题时限1.5s，必须使用一个log的做法。事实上，这是一道十分套路的Trie树题目。
首先用并查集维护连通性。
下面先考虑操作3，这相当于询问低$k$位二进制固定时集合中元素个数，可以用Trie树，维护一个子树中终结结点有多少个即可。
对于加1操作，可以在Trie树上打标记，类似线段树进行pushDown标记下传。此题pushDown函数很新颖（之前没写过这样的pushDown），详见代码。（队友指出，此题也可以暴力更新Trie树，至多交换\(\log 10^9\)个结点；不过如果每次加的数不是1的话就必须打标记了。）
对于合并操作，类似线段树合并。由于初始时\(n\)个数共需要\(O(n \log 10^9)\)个结点，而花费O(1)的时间会将总结点数减1，故Trie树合并的总时间复杂度也为\(O(n \log 10^9)\)。关于线段树合并，可以做这道入门题练手：Codeforces Gym 101194G（2016EC Final）
总时间复杂度\(O((n+q) \log 10^9)\)。
注意事项
此题空间复杂度\(O(n \log 10^9)\)。如果Trie树合并使用新开的结点，每个结构体16B，将需要576MB，这会MLE。考虑Trie树合并时不新开结点，可以将空间降至288MB。
完整代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define DEPTH 30
using namespace std;
struct Trie{
int size;
int next[];
int tag;
}trie[];
int cnt;
int newTrie(){
memset(&trie[++cnt], , sizeof(Trie));
return cnt;
}
inline void pushDown(int i){
int &t = trie[i].tag;
int &l = trie[i].next[], &r = trie[i].next[];
if (t){
if (t & ){ swap(l, r); trie[l].tag++; }
if (t >= ){ trie[l].tag += t / ; trie[r].tag += t / ; }
t = ;
}
}
inline void pushUp(int i){
trie[i].size = trie[trie[i].next[]].size + trie[trie[i].next[]].size;
}
void insert(int i, int depth, int x)
{
if (!depth){ trie[i].size++; return; }
pushDown(i);
int &pos = trie[i].next[x & ];
if (!pos)pos = newTrie();
insert(pos, depth - , x >> );
pushUp(i);
}
void merge(int& i, int j, int k, int depth)
{
if (j&&k){
i = j;
if (!depth){
trie[i].size += trie[k].size;
return;
}
pushDown(j); pushDown(k);
for (int c = ; c < ; c++)
merge(trie[i].next[c], trie[j].next[c], trie[k].next[c], depth - );
pushUp(i);
}
else i = j ? j : k;
}
int f[], id[];
int getFather(int i)
{
if (f[i] == i)return i;
return f[i] = getFather(f[i]);
}
int main()
{
int n, m, x, u, v, k;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = ; i <= n; i++){
scanf("%d", &x);
id[i] = newTrie();
f[i] = i;
insert(id[i], DEPTH, x);
}
while (m--){
scanf("%d%d", &x, &u);
u = getFather(u);
if (x == ){
scanf("%d", &v);
v = getFather(v);
if (u != v){
f[u] = v;
merge(id[v], id[u], id[v], DEPTH);
}
}
else if (x == )trie[id[u]].tag++;
else{
scanf("%d%d", &k, &x);
int cur;
for (cur = id[u]; k; k--){
pushDown(cur);
cur = trie[cur].next[x & ];
if (!cur)break;
x >>= ;
}
if (!cur)printf("0\n");
else printf("%d\n", trie[cur].size);
}
}
}