有两个性质需要知道：
$1.$ 对于任意的 $f[i]=f[i-1]+f[i-2]$ 的数列，都有 $f[i]=fib[i-2]\times f[1]+fib[i-1]\times f[2]$
其中 $fib[i]$ 为第 $i$ 项斐波那契数列.
$2$. 对于任意满足上述条件的数列，都有 $\sum_{i=1}^{n}f[i]=f[n+2]-f[2]$
$3.$ 任意两断满足上述条件的数列每一项依次叠加，依然满足 $g[i]=g[i-1]+g[i-2]$，且上述两个性质都满足.
$4.$ 任何一段斐波那契数列也满足上述所有性质.
有了上述预备知识后，再考虑这道题：
我们用线段树来维护区间和，线段树上每个节点维护 $3$ 个信息，为 $sum,f1,f2$
即节点所维护的区间和，以及该节点及线段树中区间要加上一个前两项为 $f1,f2$ 的上述递推数列.
那么，我们只需考虑如何下传标记，如何查询即可.
假设当前节点已经有了 $f1,f2$，那么将标记下传给左子树是轻松的：直接下传即可，区间和的贡献可按照上述公式 $O(1)$ 求出.
而如果要下传给右儿子的话就不能直接传了，因为右儿子区间开头的两项并不是 $f1,f2$.
而根据上述三条性质，我们知道斐波那契数列的任何一段也是斐波那契数列.
所以，直接算出右儿子的 $f1,f2$ 即 $f1\times fib[mid-l]+f2\times fib[mid-l+1]$ 与 $f1\times fib[mid-l+1]+f2\times fib[mid-l+2]$
然后还知道 $f1,f2$ 都满足叠加性，所以直接叠加到左右儿子的 $f1,f2$ 上即可.
#include <bits/stdc++.h>
#define N 400004
#define LL long long
#define lson now<<1
#define rson now<<1|1
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
using namespace std;
const LL mod=1000000009;
int n,m;
LL fib[N<<1],sum[N<<1];
struct node
{
LL f1,f2,sum;
int l,r,len;
}t[N<<2];
void build(int l,int r,int now)
{
t[now].l=l;
t[now].r=r;
t[now].len=r-l+1;
if(l==r) return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(l<=mid) build(l,mid,lson);
if(r>mid) build(mid+1,r,rson);
}
void mark(int now,LL f1,LL f2)
{
(t[now].f1+=f1)%=mod;
(t[now].f2+=f2)%=mod;
(t[now].sum+=f1*fib[t[now].len]%mod+f2*fib[t[now].len+1]%mod-f2+mod)%=mod;
}
void pushup(int now)
{
t[now].sum=(t[lson].sum+t[rson].sum)%mod;
}
void pushdown(int now)
{
if(t[now].f1==0&&t[now].f2==0) return;
int mid=(t[now].l+t[now].r)>>1;
mark(lson,t[now].f1,t[now].f2);
if(t[now].r>mid)
mark(rson,t[now].f1*fib[t[lson].len-1]%mod+t[now].f2*fib[t[lson].len]%mod,t[now].f1*fib[t[lson].len]%mod+t[now].f2*fib[t[lson].len+1]%mod);
t[now].f1=t[now].f2=0;
}
void update(int l,int r,int now,int L,int R)
{
if(l>=L&&r<=R)
{
mark(now,fib[l-L+1],fib[l-L+2]);
return;
}
pushdown(now);
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) update(l,mid,lson,L,R);
if(R>mid) update(mid+1,r,rson,L,R);
pushup(now);
}
LL query(int l,int r,int now,int L,int R)
{
if(l>=L&&r<=R)
{
return t[now].sum;
}
pushdown(now);
int mid=(l+r)>>1;
LL re=0ll;
if(L<=mid) re+=query(l,mid,lson,L,R);
if(R>mid) re+=query(mid+1,r,rson,L,R);
return re%mod;
}
int main()
{
// setIO("input");
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&m);
fib[1]=fib[2]=1;
for(i=3;i<N;++i) fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
for(i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&sum[i]), (sum[i]+=sum[i-1])%=mod;
build(1,n,1);
for(i=1;i<=m;++i)
{
int opt,l,r;
scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);
if(opt==1) update(1,n,1,l,r);
else printf("%lld\n",(query(1,n,1,l,r)+sum[r]-sum[l-1]+mod*2)%mod);
}
return 0;
}