BZOJ3675 & 洛谷3648 & UOJ104：[Apio2014]序列分割——题解

PS：题面与题解针对于洛谷与uoj版本，bzoj请自觉把“输出做法”删去。

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

参考：洛谷题解（虽然不算参考emmm只是斜率优化写跪了来debug用的）。

不难证出只要分割点固定那么答案固定，因此O(kn^2)不难想。

令s[i]表示前i项前缀和，那么我们有：

f[k][i]=max(f[k][i],f[k-1][j]+(s[i]-s[j])*s[j])

这个式子显然可以斜率优化，维护一个单调不增序列，令k<j<i。

忽略f的前一维，则当f[k]+(s[i]-s[k])*s[k]<=f[j]+(s[i]-s[j])*s[j]，把k从队首弹出。

所以g[k,j]=(f[k]-f[j]+sqr(s[j])-sqr(s[k]))/(s[j]-s[k])<=s[i]时弹出k即可。

同时考虑g[k,j]>=g[j,i]时把j弹出，给出证明。

显然当g[j,i]<=s[i]时j不优。

当g[k,j]>=g[j,i]>s[i]时k比j优仍然把j弹出。

//我还naive的想要维护单调不减序列结果各种奇葩错误emmm……

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef double dl;

const int N=1e5+;

const int K=;

inline int read(){

    int X=,w=;char ch=;

    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}

    while(isdigit(ch))X=(X<<)+(X<<)+(ch^),ch=getchar();

    return w?-X:X;

}

ll f[][N];

int n,k,nxt[N][K],q[N],s[N],l,r,now=,pre=;

inline ll sqr(ll k){return k*k;}

inline dl suan(int j,int k){

    if(s[j]==s[k])return -1e18;

    int i=pre;

    return (f[i][k]-f[i][j]+sqr(s[j])-sqr(s[k]))/(dl)(s[j]-s[k]);

}

int main(){

    n=read(),k=read();

    for(int i=;i<=n;i++)s[i]=s[i-]+read();

    for(int j=;j<=k;j++){

        now^=,pre^=;l=r=;

        for(int i=;i<=n;i++){

            while(l<r&&suan(q[l],q[l+])<=(dl)s[i])l++;

            int t=q[l];

            f[now][i]=f[pre][t]+(ll)(s[i]-s[t])*s[t];nxt[i][j]=t;

            while(l<r&&suan(q[r-],q[r])>=suan(q[r],i))r--;

            q[++r]=i;

        }

    }

    printf("%lld\n",f[now][n]);

    int tmp=nxt[n][k];

    while(k){

        printf("%d ",tmp);

        tmp=nxt[tmp][--k];

    }

    return ;

}

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