学过微积分的人，肯定都接触过Euler积分，按教科书上的说法，这是两种含有参变量的定积分，但其实没那么玄乎，它们只是两个函数。其中第一型Euler积分叫\(B\)-函数，第二型Euler积分叫\(\Gamma\)-函数，这两个函数的定义如下：\begin{align} \label{eq: beta} B (m, n) & = \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} \text{d} x \\ \label{eq: gamma} \Gamma (n) & = \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-x} \text{d} x \end{align}一般教科书上的解释就仅限于此了，最多再给几个恒等式，至于它们为何长得如此奇怪，基本都是缄口不提的。今天笔者闲来无聊，考证了一番，才弄明白这其中的来龙去脉。
故事要追溯到18世纪初，当时数学界两个比较热门的研究方向是插值理论和积分方法。积分想必大家都知道，那什么是插值呢？举个简单的例子，考虑如下的一系列数：\(1\)，\(1+2\)，\(1+2+3\)，\(\cdots\)，这样的数被称作三角形数(triangular numbers)，因为这些数量的(石子)可以排成不同尺寸的等边三角形。那么很自然地，就会有人问第\(n\)个三角形数\(T_n\)是多少，答案很简单，一般小学生都能答出来：\begin{align} \label{eq: triangular numbers} T_n = \frac{1}{2} n (n+1) \end{align}但是再仔细看一下(\ref{eq: triangular numbers})式，你会发现它又不是那么简单。本来我们只关心\(n\)为正整数时，\(T_n\)的取值是多少，但实际上有了(\ref{eq: triangular numbers})式后，\(n\)即使取\(\sqrt{2}\)这样的数，我们也可以算出一个值来。换言之，函数的定义域被扩展了，本来\(T_n\)的定义域是正整数集，现在扩展到了整个实数集，在函数本来没有定义的地方赋一个新值就是插值。类似的问题还有很多，比如指数运算\(a^x\)本来是为了方便表达\(x\)个\(a\)连乘而引入的，因此最初\(x\)只取正整数，但是我们也好奇\(2.5\)个\( a \)连乘会是什么情况，\(-\sqrt{3}\)个\(a\)连乘的值是多少，因此我们就需要将定义域进行扩展。
用现代数学的观点看，插值似乎是个很无厘头的问题，因为函数只是一个数集到另一个数集的对应关系，对于定义域中需要扩展的部分，大可以赋以任意值，这样可以得到无穷多个插值函数。但是在18世纪初，数学家们普遍认为函数是必须有一个代数表达式的，插值就是要找到一个代数表达式，在满足原本定义域上的对应关系的基础上有更广的定义域。
在形形色色的插值问题中，有一个问题困扰了Christian Goldbach(1690-1764)很久，就是阶乘函数\(n!\)的插值问题。于是他就写信求助于Daniel Bernoulli(1700-1784)，当时Leonhard Euler(1707-1783)和Bernoulli在一起，因此也知晓了这个问题。后来1729年，Euler漂亮地解决了这个问题，并给Goldbach去了一封信，\(\Gamma\)-函数就诞生于这封信中，这一年，Euler只有22岁。
下面就让我们怀着景仰的心情，来近距离观察一下，数学大师是如何思考并解决问题的。众所周知，Euler对求和有着极其*的崇拜，因此他首先考虑了通项为\(n!\)的级数：\begin{align*} 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 3 + \cdots \end{align*}通过观察，Euler发现随着\(n\)趋向于无穷，这个级数会越来越像等比级数，据此他得到通项的一个表达式，即\begin{align} \label{eq: factorial} \left[ \left( \frac{2}{1} \right)^n \frac{1}{n+1} \right] \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^n \frac{2}{n+2} \right] \left[ \left( \frac{4}{3} \right)^n \frac{3}{n+3} \right] \cdots = n! \end{align}恕笔者能力有限，实在无法理解大师这突破天际的脑回路。但我们不难验证有\begin{align*} \left[ \left( \frac{2}{1} \right)^n \frac{1}{n+1} \right] \left[ \left( \frac{3}{2} \right)^n \frac{2}{n+2} \right] \left[ \left( \frac{4}{3} \right)^n \frac{3}{n+3} \right] \cdots & = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdots m}{(n+1)(n+2)\cdots(n+m)} (m+1)^n \\ & = \lim_{m \rightarrow \infty} 1 \cdot 2 \cdots n \frac{(n+1)(n+2)\cdots m}{(n+1)(n+2)\cdots m} \frac{(m+1)^n}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n)} \\ & = n! \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{(m+1)^n}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n)} \\ & = n! \end{align*}有了(\ref{eq: factorial})式，Euler就尝试将\(n\)取一些具体的值。特别地，当\(n = \frac{1}{2}\)时有\begin{align*} \left(\frac{1}{2}\right)! = \sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{1^2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2^2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3^2 \cdot 2 \cdot 2}{7 \cdot 7} \cdots} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 7} \cdots} \end{align*}而恰巧John Wallis(1616-1703)在1665年研究半圆曲线\(y = \sqrt{x(1-x)}\)下的面积时曾得到\begin{align*}\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 7} \cdots = \frac{\pi}{4}\end{align*}于是结合上面两式可得\begin{align*} \left(\frac{1}{2}\right)! = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align*}
在Euler这样的老狐狸眼里，一旦扯上\(\pi\)，自然就和圆相关的积分逃不了干系，事实上Wallis公式就是在处理\(\int_0^1 x^{\frac{1}{2}} (1-x)^{\frac{1}{2}} \text{d} x\)这样的积分。既然\(\frac{1}{2}!\)和积分相关，那么\(n!\)应该也可以表达为某种积分的形式，于是Euler开始考虑如下一般形式的积分\begin{align*} E(m,n) = \int_0^1 x^m (1-x)^n \text{d} x \end{align*}其中\(m\)是任意数，\(n\)是整数。由分部积分易知有\begin{align*} E(m,n) = \frac{1}{m+1} \int_0^1 (1-x)^n \text{d} x^{m+1} = \frac{1}{m+1} x^{m+1} (1-x)^n |_0^1 - \frac{1}{m+1} \int_0^1 x^{m+1} \text{d} (1-x)^n = \frac{n}{m+1} \int_0^1 x^{m+1}(1-x)^{n-1} \text{d} x = \frac{n}{m+1} E(m+1,n-1) \end{align*}于是递推下去有\begin{align*} E(m,n) = \frac{n}{m+1} E(m+1,n-1) = \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} E(m+2,n-2) = \cdots = \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} E(m+n,0) \end{align*}又\begin{align*} E(m+n,0) = \int_0^1 x^{m+n} \text{d} x = \frac{1}{m+n+1} \end{align*}于是\begin{align} \label{eq: E} E(m,n) = \frac{n}{m+1} \frac{n-1}{m+2} \cdots \frac{1}{m+n} \frac{1}{m+n+1} \end{align}整理一下(\ref{eq: E})式可得\begin{align*} \frac{n!}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} = (m+n+1) \int_0^1 x^m (1-x)^n \text{d} x \end{align*}下面就是体现Euler技巧的地方了，先做一个变量代换\(m = u/v\)，于是\begin{align} \label{eq: Euler trick} \frac{n!}{(u+v)(u+2v)\cdots (u+nv)} = \frac{u+(n+1)v}{v^{n+1}} \int_0^1 x^{u/v} (1-x)^n \text{d} x \end{align}注意当\(u \rightarrow 1\)且\(v \rightarrow 0\)时，(\ref{eq: Euler trick})式左端\(\rightarrow n!\)。下面考察(\ref{eq: Euler trick})式右端，做变量代换\(x = y^{v/(u+v)}\)，于是\begin{align*}\text{d} x = \frac{v}{u+v} y^{-u/(u+v)} \text{d} y \end{align*}故(\ref{eq: Euler trick})式右端变为\begin{align*} \frac{u+(n+1)v}{v^{n+1}} \int_0^1 y^{u/(u+v)} (1-y^{v/(u+v)})^n \frac{v}{u+v} y^{-u/(u+v)} \text{d} y = \frac{u+(n+1)v}{v^n (u+v)} \int_0^1 (1-y^{v/(u+v)})^n \text{d} y = \frac{u+(n+1)v}{(u+v)^{n+1}} \int_0^1 \left(\frac{1-y^{v/(u+v)}}{v/(u+v)}\right)^n \text{d} y \end{align*}综上我们有\begin{align*}n! = \lim_{u \rightarrow 1, v \rightarrow 0} \frac{u+(n+1)v}{(u+v)^{n+1}} \int_0^1 \left(\frac{1-y^{v/(u+v)}}{v/(u+v)}\right)^n \text{d} y = \int_0^1 \lim_{u \rightarrow 1, v \rightarrow 0} \left(\frac{1-y^{v/(u+v)}}{v/(u+v)}\right)^n \text{d} y = \int_0^1 \left(\lim_{u \rightarrow 1, v \rightarrow 0} \frac{1-y^{v/(u+v)}}{v/(u+v)}\right)^n \text{d} y = \int_0^1 (-\ln y)^n \text{d} y \end{align*}其中第二个等号成立(交换极限和积分的次序)是因为关于\(y\)的函数\(\left(\frac{1-y^{v/(u+v)}}{v/(u+v)}\right)^n\)在\((0,1]\)上一致收敛于\(\left( -y^{v/(u+v)} \ln y \right)^n\)且\(\int_0^1 \left( -y^{v/(u+v)} \ln y \right)^n \text{d} y\)是良定义的，第四个等号可由L'Hospital法则推出。
进一步设\(-\ln y = x\)，即\(y = e^{-x}\)，可得\begin{align*} n! = \int_0^1 (-\ln y)^n \text{d} y = \int_\infty^0 x^n (- e^{-x}) \text{d} x = \int_0^\infty x^n e^{-x} \text{d} x \end{align*}这和(\ref{eq: gamma})式的形式已经很像了，区别仅仅是\(x\)的指数。事实上一开始Euler确实就是把\(\Gamma (n)\)定义成上式最右端那样的，也即\(\Gamma (n) = n!\)。注意(\ref{eq: E})式也可写成\begin{align*} E(m,n) = \frac{m!n!}{(m+n+1)!} \end{align*}于是此时有\begin{align*} E(m,n) = \frac{\Gamma (m) \Gamma (n)}{\Gamma (m+n+1)} \end{align*}后来可能是出于方便美观的原因吧，Adrien Marie Legendre(1752-1833)将\(\Gamma\)-函数的定义修改成了(\ref{eq: gamma})式那样，也即\(\Gamma (n) = (n-1)!\)，并将\(E(m,n)\)修改成(\ref{eq: beta})式那样，也即\(B(m,n) = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}\)，于是此时有\begin{align*} B(m,n) = \frac{\Gamma (m) \Gamma (n)}{\Gamma (m+n)} \end{align*}这显然比前一个式子漂亮一些，于是这个定义就被人们普遍接受了，现在教科书上看到的也都是这个形式。