1. 线性SVM
对两类点的划分问题，这里对比下逻辑回归和SVM的区别：
- 逻辑回归的思想是，将所有点到决策平面的距离作为损失来进行训练，目标是到决策平面的距离和最小
- SVM的思想是，只关注支持向量(图中圈出的点)到决策平面的距离，最大化这个距离。
对于所有样本点 \(\{(x_i,y_i)\}, i = 1,2,\cdots, m\) ，SVM划分正负样本，即 \(y\in\{1,-1\}\) ，则有：
\[
\begin{align}
\begin{cases}
y_i = +1, w^Tx_i +b >0\\
y_i = -1, w^Tx_i +b<0
\end{cases}
\end{align}
\]
这里对式子(1)进行一个放缩变换。超平面由参数对 \((w,b)\) 决定，若超平面 \((w',b')\) 能将样本正确分类，那么总存在一个放缩变换 \(\zeta w \mapsto w'\) 和 \(\zeta b \mapsto b'\) 使得下列式子成立:
\[
\begin{align}
\begin{cases}
y_i = +1, w^Tx_i +b \geq1\\
y_i = -1, w^Tx_i +b\leq1
\end{cases}
\end{align}
\]
其中，正负样本中各有几个样例使得(2)的等号成立，这些样例被称为 支持向量。
SVM的优化目标即是最大化间隔，而两个异类的支持向量到决策平面的距离是：
\[
\begin{align}
\gamma = \frac{2}{||w||}
\end{align}
\]
同时，该优化目标函数具有约束，即式子(2)，整理后写在一起：
\[
\notag
\begin{array}{l}
\max \limits_{w,b}\frac{2}{||w||}\\
s.t. y_i(w^Tx_i +b)\geq1, i=1,2,\cdots,n
\end{array}
\]
这等价于最小化 \(w\) 的范数:
\[
\begin{align}
\begin{array}{l}
\min \limits_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2\\
s.t. y_i(w^Tx_i +b)\geq1, i=1,2,\cdots,m
\end{array}
\end{align}
\]
式(4)就是SVM的基本型。
2. 对偶问题
式子(4)是一个不等式优化问题，有 \(m\) 个约束条件和 1 个 优化目标，对于这类问题，可以用拉格朗日乘数法来解决。
引入乘数因子 $\alpha $ ：
\[
\begin{align}
L(w,b,\alpha) = \frac{1}{2}||w||^2+\sum_i^m\alpha_i (1-y_i(w^Tx_i +b))
\end{align}
\]
我们令：
\[
\begin{align}
\theta(w)=\max \limits_{\alpha_i\geq0}L(w,b,\alpha)
\end{align}
\]
结合(5)(6)来说，如果 \(y_i(w^Tx_i+b)\geq1\) 和\(\alpha_i\geq0\) 有任何一个不满足，则 \(\theta(w)=+\infty\) ，所以当约束条件满足时，则有 \(\theta(w)=\frac{1}{2}||w||^2\), 即我们要最小化的目标。因此我们最初的目标函数变成了：
\[
\begin{align}
\min \limits_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2=\min \limits_{w,b}\theta(w)=\min \limits_{w,b}\max \limits_{\alpha_i\geq0}L(w,b,\alpha)=p^*
\end{align}
\]
这就是由拉格朗日乘数法引出的原问题。我们假定它的最优值是 \(p^*\)。
现在我们把$\min $ 和 \(\max\) 倒置一下，得到它的 对偶问题：
\[
\begin{align}
\max \limits_{\alpha_i\geq0} \min \limits_{w,b}L(w,b,\alpha)=d^*
\end{align}
\]
同样我们假定它的最优值时 \(d^*\)。对比一下原问题和对偶问题：
- 原问题：一个函数最大值中最小的一个值 \(p^*\)
- 对偶问题： 一个函数最小值中最大的一个 \(d^*\)
显然有 \(d^*\leq p^*\)。即原问题的对偶问题确定了原问题的下界。当然，在满足Slater条件和KKT条件的情况下 \(d^*=q^*\)，我们称之强对偶性。看一下Slater条件的定义：
Slater条件：如果主问题是凸优化问题，即不等式约束为凸函数，等式约束为仿射函数(线性变换)，且可行域中至少有一点使得不等式约束严格成立，则强对偶性成立。
Slater条件保证鞍点的存在。而KKT条件保证函数可微。这样鞍点就可通过拉格朗日函数求导得到。
再讲KKT条件前，看一下对偶问题的求解：
对于内层最小化，求 \(L\) 关于 \(w, b\) 的偏导为0，解得的结果如下：
\[
\begin{align}
w &= \sum \alpha_i y_i x_i\\
0 &=\sum \alpha_i y_i
\end{align}
\]
带回式子(5)，消去 \(w,b\)，得到最终的优化函数为：
\[
\begin{align}
\notag \max \limits_{\alpha}\sum_{i=1}^m\alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{m}a_ia_jy_iy_jx_i^Tx_j\\
s.t. 0 =\sum \alpha_i y_i ,\\
\notag \alpha \geq 0
\end{align}
\]
3. KKT条件
KKT是在满足一些有规则的条件下，一个非线性规则问题能有最优解的一个充分必要条件。也就是说，只要约束条件按照这个KKT给出的规则列出，然后符合KKT条件的，就可以有最优解。这是一个广义化拉格朗日乘数的成果。
对于不等式约束，需要满足KKT条件，这里讲一下KKT条件是怎么来的。
上图展示了一个2不等式约束优化问题，简单起见，这里在2维空间内讨论。
- 右下角方是优化目标函数\(f(x)\)的等高线。
- 左上方灰色部分是两个约束 \(g_1(x), g_2(x)\) 组成可行解区域。
假定在约束条件下，最优解为 \(x^*\) 。显然该点是2个约束条件以及某条等高线相交点。在该点处有3个梯度，分别用三个箭头表示：
- 红色箭头代表等高线梯度，它的方向代表优化目标函数值增大的方向，即 \(\nabla f(x^*)\)
- 绿色箭头代表约束在边缘处的负梯度，代表约束曲线值缩小的方向。
红色箭头必然加载俩绿色箭头中间（如果红色箭头不满足这个条件，那么必然存在更小的等高线穿过可行解区域），即 \(\nabla f(x^*)\) 必然可以由 \(-\nabla g_1(x^*)\) 和 \(-\nabla g_x(x^*)\) 线性表示，且系数一定为正。
于是引出了第一二个KKT条件：
\[
\begin{align}
\nabla f(x^*)+\mu_1\nabla g_1(x^*)+\mu_2\nabla g_2(x^*)=0\\
\mu_1\geq0,\mu_2\geq0
\end{align}
\]
然而，不一定所有的约束条件都对最优解起作用，比如下图的三约束优化问题：
显然 \(g_3(x)\) 对最优解不起作用。此时，最优解在 \(g_1(x)\) 和 \(g_2(x)\) 上，而不在 \(g_3(x)\) 上。此时，对于前两个KKT条件，有：
\[
\begin{align}
\mu_1\geq0,\mu_2\geq0,\mu_3\geq0\\
\nabla f(x^*)+\mu_1 \nabla g_1(x^*)+\mu_2\nabla g_2(x^*)+\mu_3\nabla g_3(x^*)=0
\end{align}
\]
对于(13)来说，我们不想让 \(g_3(x)\) 起作用，可以加入一个条件，使得 \(\mu_3=0\) 即可。于是引入第三个KKT条件:
\[
\begin{align}
\mu_1g_1(x^*)+\mu_2g_2(x^*)+\mu_3g_3(x^*)=0
\end{align}
\]
由于 \(g_1(x^*)=g_2(x^*)=0\), 那么自然的 \(\mu_3=0\),其实条件(16)等价于\(\mu_kg_k(x^*)=0\)
推广到多维等式\(h_j(x)\)和不等式约束\(g_k(x)\)：
\[
\begin{align}
\nabla f(x^*)+\sum_{j=1}^{m}\lambda_j\nabla h_j(x^*)+\sum_{k=1}^{m}\,u_k\nabla g_k(x^*)=0\\
h_j(x^*)=0, g_k(x^*)\leq0\\
\lambda_j\neq0, \mu_k\geq0, \mu_kg_k(x^*)=0
\end{align}
\]
式子(17)(18)(19)合称KKT条件。
回顾我们的SVM优化问题, 注意，在SVM基本型中，参数空间是由\((w,b)\)构成的，而\((x,y)\)对都是已知的。
添加上SVM基本型，即公式(4)的条件：
\[
\begin{align}
\max \limits_{\alpha}\sum_{i=1}^m\alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{m}a_ia_jy_iy_jx_i^Tx_j\\
s.t. 0 =\sum \alpha_i y_i ,\\
\alpha \geq 0\\
y_if(x_i)-1\geq0
\end{align}
\]
式子(18)是由 \(L(w,b,\alpha)\) 对\(w,b\)偏导为0求出，即满足了KKT条件(2)，最终整理得，优化目标为：
\[
\begin{align}
\max \limits_{\alpha}\sum_{i=1}^m\alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{m}a_ia_jy_iy_jx_i^Tx_j\\
s.t. \sum \alpha_i y_i=0 ,\\
\alpha \geq 0\\
\end{align}
\]
然后KKT要求这一过程满足:
\[
\begin{align}
\begin{cases}
\alpha_i\geq0\\
y_if(x_i)-1\geq0\\
\alpha_i(y_if(x_i)-1)=0
\end{cases}
\end{align}
\]
注意公式(27)的第三个式子 ，对于任意的训练样本\((x_i,y_i)\) 总满足\(\alpha_i=0\) 或 \(y_if(x_i)=1\)， 若 \(\alpha_i=0\), 那么它就不会在优化目标(24)中出现，若\(y_if(x_i)=1\)，那么它就是一个支持向量。这就引出了SVM的重要性质：训练完成后，大部分训练样本都不需要保留，最终模型只跟支持向量有关。
4. 解的形式
使用二次规划或者SMO算法解出 \(\alpha\) 后，SVM的解的由以下形式给出
\[
\begin{align}
w = \sum \alpha_i y_i x_i
\end{align}
\]
而注意到 对于任意的支持向量\((x_s, y_s)\)，都有 \(y_sf(x_s)=1\)，即：
\[
\begin{align}
y_s\left( \sum_{i\in S}\alpha_iy_ix_i^Tx_s+b\right)=1
\end{align}
\]
其中 \(S\) 是所有支持向量的下标集合。理论上可以选择任意的支持向量通过求解(29)得到，但现实任务一般采用更鲁棒的形式，即使用所有支持向量求均值:
\[
\begin{align}
b=\frac{1}{|S|}\sum_{s\in S}\left(y_s-\sum_{i\in S}\alpha_iy_ix_i^Tx_s\right)
\end{align}
\]
5. 参考资料
1. 如何通俗地讲解对偶问题？尤其是拉格朗日对偶lagrangian duality？ - 彭一洋的回答 - 知
2. 理解支持向量机三层境界