第13届 广东工业大学ACM程序设计大赛 C题 平分游戏
题目描述
转眼间又过了一年，又有一届的师兄师姐要毕业了。
有些师兄师姐就去了景驰科技实习。 在景驰，员工是他们最宝贵的财富。只有把每一个人的专业性和独特性结合在一起，他们才会获得成功。他们致力于为所有员工打造一个能够被激励，并分享公司成功的工作环境。
创新精神：为了改变人类出行而不断迎接全新挑战。
团队协作：依靠集体的智慧，坦诚无私地帮助彼此。
结果导向：在所有方面都力争做到中国第一和世界一流，并对结果负责。
共同成长：学习永无止境，通过个人发展和职业成长实现成就。
GUDTACM集训队教练孙壕又来请大家大搓一顿。
茶余饭足以后，有人提议不如来玩游戏吧。狼人杀谁是卧底跳一跳都已经玩得太多了，所以大家决定玩一个更加有挑战性的游戏。
集训队一共有n位同学，他们都按照编号顺序坐在一个圆桌旁。第i位同学一开始有a[i]个硬币，他们希望使得每位同学手上的硬币变成相同的数目。每一秒钟，有且仅有一位同学可以把自己手上的一枚硬币交给另一位同学，其中这两位同学中间必须间隔k位同学。
现在问的是最少几秒后所有同学手上的有相同数量的硬币
输入描述:
第一行输入两个整数n,k(1<=n<=1000000,0<=k<=n)
接下来的一行有n个整数，第i个整数a[i]（0<=a[i]<=1e9）表示第i位同学手上的硬币的数量。
输出描述:
一个整数，表示最少几秒后所有同学手上的有相同数量的硬币。如果不可能，则输出gg。
示例1
输入
5 0
2 3 1 5 4
输出
3
思路:
先看怎么处理没有\(k\)的限制的问题，保证总数整除\(n\)是必然的。
再来处理硬币的转移问题，对于相邻的两个位置\(A,B\)来说，要么\(A\)给\(B\)，要么\(B\)给\(A\)，这样才能保证最优。
我们假设\(x_i\)为 第 \(i\) 个人 给了 第 \((i - 1 + n) \%n\) 个人 的硬币个数 (\(x_i < 0\)表示 后者给前者硬币)
假设平均值为\(avg\)，则有如下关系
对于第0个人 \(a_0 - x_0 + x_1 = avg \rightarrow x_1 = x_0 - (a_0 - avg) \rightarrow x_1 = x_0 - C_0 (C_0 = a_0 - avg)\)
对于第1个人 \(a_1 - x_1 + x_2 + avg\rightarrow x_2 = x_1 - (a_1 - avg) \rightarrow x_2 = x_0 - (a_0 + a_1 - 2*avg) \rightarrow x_2 = x_0 - C_1(C_1 = a_0 + a_1 - 2 * avg)\)
最后的答案就是最小化 \(|x_0| + |x_1| + .... |x_{n-2}| = |x_0| +|x_0 - C_0| + |x_0 - C_1| + .... + |x_0 - C_{n-2}|\)
这个显然是在一个x轴上找到他们的中位数，答案最小。
现在来考虑存在\(k\)的限制的问题，其实就将整个环分成了\(gcd(n, k + 1)\)个独立的环，对每个环分别求解最后累加即可。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define P pair<int,int>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N],vis[N];
LL b[N];
int n, k;
LL cal(int cnt){
b[cnt - 1] = 0;
sort(b, b + cnt);
return b[cnt / 2];
}
int main()
{
cin>>n>>k;
k = min(k, n - 1);
LL sum = 0;
for(int i = 0;i < n;i++){
scanf("%d",a + i);
sum += a[i];
}
if(sum % n ){
puts("gg");
return 0;
}
LL ans = 0, avg = sum / n;
for(int i = 0;i < n;i++){
if(!vis[i]){
int j = i,cnt = 0;
LL tmp = 0,p = 0;
while(!vis[j]){
vis[j] = 1;
b[cnt] = a[j] - avg + p, tmp += a[j];
p = b[cnt++];
j = (j + k + 1) % n;
}
if(tmp % cnt || tmp / cnt != avg){
puts("gg");
return 0;
}
LL midnum = cal(cnt);
for(int k = 0;k < cnt;k++) ans += abs(midnum - b[k]);
}
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}