七、(本题10分) 设 \(V\) 为数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(S=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}\) 为 \(V\) 中的向量组, 定义集合 \(R_S=\{(a_1,a_2,\cdots,a_m)\in\mathbb{K}^m\,|\,a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0\}\). 再取 \(V\) 中的向量组 \(T=\{u_1,u_2,\cdots,u_m\}\). 证明:
(1) \(R_S\) 是 \(\mathbb{K}^m\) 的线性子空间;
(2) 存在线性变换 \(\varphi\) 使得 \(\varphi(v_i)=u_i\,(1\leq i\leq m)\) 的充分必要条件是 \(R_S\subseteq R_T\);
(3) 存在线性自同构 \(\varphi\) 使得 \(\varphi(v_i)=u_i\,(1\leq i\leq m)\) 的充分必要条件是 \(R_S=R_T\).
证法一 (几何方法)
(1) 显然 \(0\in R_S\). 任取 \(\alpha,\beta\in R_S\), \(k\in\mathbb{K}\), 容易验证 \(\alpha+\beta\in R_S\), \(k\alpha\in R_S\), 因此 \(R_S\) 是 \(\mathbb{K}^m\) 的线性子空间.
(2) 必要性: 由 \(\varphi\) 的线性验证即得. 充分性: 不妨设 \(\{v_1,\cdots,v_r\}\) 是向量组 \(S\) 的极大无关组, 并将其扩张为 \(V\) 的一组基 \(\{v_1,\cdots,v_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}\). 由线性扩张定理, 定义 \(\varphi(v_i)=u_i\,(1\leq i\leq r)\), \(\varphi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)\), 并将 \(\varphi\) 扩张为 \(V\) 上的线性变换. 对任一 \(v_j\,(r+1\leq j\leq m)\), 设 \(v_j=\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_rv_r\), 则 \((\lambda_1,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0,-1,0,\cdots,0)\in R_S\). 由 \(R_S\subseteq R_T\) 可知 \(u_j=\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ru_r\). 因此 \[\varphi(v_j)=\varphi(\sum_{i=1}^r\lambda_iv_i)=\sum_{i=1}^r\lambda_i\varphi(v_i)=\sum_{i=1}^r\lambda_iu_i=u_j\,\,(r+1\leq j\leq m).\]
(3) 必要性: 由 \(\varphi,\varphi^{-1}\) 的线性验证即得. 充分性: 不妨设 \(\{v_1,\cdots,v_r\}\) 是向量组 \(S\) 的极大无关组, 并将其扩张为 \(V\) 的一组基 \(\{v_1,\cdots,v_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}\). 利用与 (2) 相同的证明可得: 若 \(v_j=\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_rv_r\), 则 \(u_j=\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ru_r\,(r+1\leq j\leq m)\). 设 \(\mu_1u_1+\cdots+\mu_ru_r=0\), 则 \((\mu_1,\cdots,\mu_r,0,\cdots,0)\in R_T\). 由 \(R_S=R_T\) 可知 \(\mu_1v_1+\cdots+\mu_rv_r=0\). 又 \(\{v_1,\cdots,v_r\}\) 线性无关, 故 \(\mu_1=\cdots=\mu_r=0\). 因此 \(\{u_1,\cdots,u_r\}\) 是向量组 \(T\) 的极大无关组, 将其扩张为 \(V\) 的一组基 \(\{u_1,\cdots,u_r,f_{r+1},\cdots,f_n\}\). 由线性扩张定理, 定义 \(\varphi(v_i)=u_i\,(1\leq i\leq r)\), \(\varphi(e_j)=f_j\,(r+1\leq j\leq n)\), 并将 \(\varphi\) 扩张为 \(V\) 上的线性变换. 因为 \(\varphi\) 把基映到基, 故 \(\varphi\) 为线性自同构. 利用与 (2) 相同的证明可得 \(\varphi(v_j)=u_j\,(r+1\leq j\leq m)\).
证法二 (代数方法)
取定 \(V\) 的一组基 \(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\), 则有 \(V\) 到 \(n\) 维列向量空间 \(\mathbb{K}_n\) 的线性同构 \(\eta: V\to\mathbb{K}_n\), 它将 \(v\in V\) 映到 \(v\) 关于基 \(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\) 的坐标向量. 设 \(\alpha_i=\eta(v_i)\), \(\beta_i=\eta(u_i)\,(1\leq i\leq m)\), 则 \(\alpha_i,\beta_i\) 都是 \(n\) 维列向量. 按列分块构造 \(n\times m\) 阶矩阵 \[A=(\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_m),\,\,\,\,B=(\beta_1,\beta_2\cdots,\beta_m).\] 在线性同构的意义下, \(R_S\) 等同于线性方程组 \(Ax=0\) 的解空间 \(V_A\), \(R_T\) 等同于线性方程组 \(Bx=0\) 的解空间 \(V_B\), 其中 \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)'\). 因此在线性同构的意义下, 本题等价于证明如下结论:
(1) 线性方程组 \(Ax=0\) 的解空间 \(V_A\) 是 \(\mathbb{K}_m\) 的子空间;
(2) 存在 \(n\) 阶方阵 \(P\) 使得 \(PA=B\) 的充分必要条件是 \(V_A\subseteq V_B\);
(3) 存在 \(n\) 阶非异阵 \(P\) 使得 \(PA=B\) 的充分必要条件是 \(V_A=V_B\).
证明 (1) 是显然的. (2) 在期末复习时我讲过一个几何的证明; 它的代数证明也很简单, 只要从 \(Ax=0\) 和 \(\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}x=0\) 同解即可得到 \(B\) 的行向量是 \(A\) 的行向量的线性组合. (3) 即为复旦高代书第 208 页复习题38, 解答可参考复旦高代白皮书第 121 页例 4.17, 在第四章复习时我也仔细讲过这个证明; 它的代数证明也很简单, 只要从 \(Ax=0\) 和 \(\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix}x=0\) 和 \(Bx=0\) 同解即可得到 \(B\) 的行向量的极大无关组和 \(A\) 的行向量的极大无关组等价, 由此即可构造出非异阵 \(P\). \(\Box\)