题解【bzoj4650 [NOI2016]优秀的拆分】

Description

求对每一个连续字串将它切割成形如 AABB 的形式的方案数之和

Solution

显然 AABB 是由两个 AA 串拼起来的

考虑维护两个数组 a[i] 和 b[i] ，其中 a[i] 表示以 \(i\) 结尾有多少个 AA 串，b[i] 表示以 \(i\) 开头有多少个 AA 串

最后答案就是 \(\sum \limits _{i=1}^{n-1}a[i]b[i+1]\) （就是两个串拼起来）

如何求 a[i] 和 b[i] 呢？

首先有一个非常显然的 n^2 哈希做法（对于每一个 \(i\) 用 \(j\) 扫一遍用哈希判断有几个 AA 串），有 95 分！

如何拿到最后的 5 分呢？考虑枚举一个 Len ，然后对于每个点求出他是否是一个 2 * Len 的 AA 串的开头 / 结尾。

我们每隔 Len 放一个点，这样每一个 长度为 2 * Len 的 AA 串都至少会经过两个相邻的点。

所以再转换为每两个相邻的点会对 a, b 产生多少贡献。

先求出这对相邻点所代表的前缀的最长公共后缀 LCS 和 所代表的后缀的最长公共前缀 LCP

如果 LCP + LCS < Len 就下面这种情况：

其中两个红线是关键点（相距为 Len），蓝线是LCS，绿线是LCP，LCP+LCS < Len

则有

这条紫线就是第一个可能满足条件的 AA 串

但此时我们会发现下图

其中两个红色荧光笔的部分在 AA 串中是对应的，但他们至少有一个位置并不相同 （不然LCP可以再长）

所以此时不会有任意一个长度为 2 * Len 的 AA 串满足条件。

如果 LCP + LCS >= Len 就有下面这种情况

此时中间必然就没有空隙。可以发现：

粉色的是第一个 AA 串，可以发现它是可以分成两个相同的 A 串的（可以理解成中间没有缝隙了所以就没有不一样的了）

然后这个 AA 串可以一直往后滑动，每滑动一个位置都可以形成一个新的 AA 串知道 AA 串的后端点滑动到最右边的绿色端点。也就是滑动到棕色 AA 串

此时可以发现，每一个存在于红色荧光部分的点都可以作为一个新的 AA 串的开头

同理，每一个再绿色荧光笔的点可以作为一个新的 AA 串的结尾。

于是就将红色荧光笔的区间的 b 加上 1，绿色的 a 加上 1，就大功告成。

如何实现这个过程呢？复杂度是什么呢？

1. 枚举 Len ，每隔 Len 设置关键点：这个的复杂度是调和级数 \(O(n \log n)\)
2. 求 后缀LCP，前缀LCS：使用后缀数组 + st 表 做到 O(1) 查询
3. 区间加上 1 ： 差分维护就可以了。

至此，此题完结

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1001000;
int T;
ll a[N], b[N];
struct SuffixArray {
  char S[N]; int n;
  int cnt[N], sa[N], rk[N], height[N];
  int st[N][25], lg2[N];
  struct node {
    int id, x, y;
  }aa[N], bb[N];
  inline void buildsa() {
    n = strlen(S + 1);
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    memset(height, 0, sizeof(height));
    memset(sa, 0, sizeof(sa));
    memset(rk, 0, sizeof(rk));
    for(int i = 1; i <= n; i++) aa[i].id = bb[i].id = aa[i].x = aa[i].y = bb[i].x = bb[i].y = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cnt[S[i]] = 1;
    for(int i = 1; i <= 256; i++) cnt[i] += cnt[i - 1];
    for(int i = 1; i <= n; i++) rk[i] = cnt[S[i]];
    for(int L = 1; L < n; L *= 2) {
      for(int i = 1; i <= n; i++) aa[i].id = i, aa[i].x = rk[i], aa[i].y = rk[i + L];
      for(int i = 1; i <= n; i++) cnt[i] = 0;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cnt[aa[i].y]++;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cnt[i] += cnt[i - 1];
      for(int i = n; i >= 1; i--) bb[cnt[aa[i].y]--] = aa[i];
      for(int i = 1; i <= n; i++) cnt[i] = 0;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cnt[aa[i].x]++;
      for(int i = 1; i <= n; i++) cnt[i] += cnt[i - 1];
      for(int i = n; i >= 1; i--) aa[cnt[bb[i].x]--] = bb[i];
      for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(aa[i].x == aa[i - 1].x && aa[i].y == aa[i - 1].y)
          rk[aa[i].id] = rk[aa[i - 1].id];
        else rk[aa[i].id] = rk[aa[i - 1].id] + 1;
    } for(int i = 1; i <= n; i++) sa[rk[i]] = i; int k = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
      if(k) k--;
      int j = sa[rk[i] - 1];
      while(i + k <= n && j + k <= n && S[i + k] == S[j + k]) k++;
      height[rk[i]] = k;
    }
  }
  inline void buildst() {
    lg2[0] = -1; for(int i = 1; i < N; i++) lg2[i] = lg2[i / 2] + 1; lg2[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) st[i][0] = height[i];
    for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
      for(int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
        st[i][j] = min(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
  }
  inline int Lcp(int l, int r) {
    l = rk[l], r = rk[r];
    if(l > r) swap(l, r); l++;
    int k = lg2[r - l + 1];
    return min(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);
  }
}SA[2];
int main() {
  scanf("%d", &T);
  while(T--) {
    scanf("%s", SA[0].S + 1);
    int n = strlen(SA[0].S + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = b[i] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
      SA[1].S[i] = SA[0].S[n - i + 1];
    SA[0].buildsa(), SA[1].buildsa();
    SA[0].buildst(), SA[1].buildst();
    for(int Len = 1; Len <= n / 2; Len++) {
      for(int i = Len; i <= n; i += Len) {
        int l = i, r = i + Len;
        int L = n - (r - 1) + 1, R = n - (l - 1) + 1;
        int lcp = SA[0].Lcp(l, r); lcp = min(lcp, Len);
        int lcs = SA[1].Lcp(L, R); lcs = min(lcs, Len - 1);
        if(lcp + lcs >= Len) {
          b[i - lcs]++, b[i - lcs + (lcp + lcs - Len + 1)]--;
          a[r + lcp - (lcp + lcs - Len + 1)]++, a[r + lcp]--;
        }
      }
    } for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] += a[i - 1], b[i] += b[i - 1];
    ll ans = 0; for(int i = 1; i < n; i++) ans += a[i] * b[i + 1];
    printf("%lld\n", ans);
  }
  return 0;
}