HDU 4635 Strongly connected（强连通分量，变形）

时间：2022-06-29 03:40:46

题意：给出一个有向图（不一定连通），问最多可添加多少条边而该图仍然没有强连通。

思路：

　　强连通分量必须先求出，每个强连通分量包含有几个点也需要知道，每个点只会属于1个强连通分量。

　　在使图不强连通的前提下，要添加尽可能多的边。边至多有n*(n-1)条，而已经给了m条，那么所能添加的边数不可能超过k=n*(n-1)-m。

　　这k条边还有部分不能添加，一添加立刻就强连通。一个强连通图最少只需要n条边，根据强连通的特性，缩点之后必定是不会有环的存在的，那么只要继续保持没有环的存在即可。我们只要让其中1个强连通分量没有出度，或者没有入度就行了。到底选哪个强连通分量？选点数少的，这点在后面会了解。因为1*10=10，而2*9=18啊，也就是两个数越接近，两者之积越大。

　　如果挑出1个出度（入度也行的，同理）为0的强连通分量，该强连通分量的点数为d，那么答案就是k-d*(n-d)，即不允许有其他n-d个点有任何一条边指向此强连通分量，其他边都是可以存在的。那么要使得k-d*(n-d)最大，那么d*(n-d)要最小，就是上面讲的要选哪个强连通分量的原因。

　　那么应该找到缩点后出/入度为0的且包含点数最少的强连通分量来计算即可。

 #include <bits/stdc++.h>

 #define LL long long

 #define pii pair<int,int>

 using namespace std;

 const int N=+;

 const int INF=0x7f7f7f7f;

 vector<int> vect[N];

 stack<int> stac;

 int num[N], chu[N], ru[N];         //统计强连通分量中点的个数

 int scc_no[N], lowlink[N], dfn[N], dfn_clock, scc_cnt;  //SCC必备

 int n, m;

 unordered_map<int,int>  mapp;

 void DFS(int x) //常规tarjan

 {

     stac.push(x);

     dfn[x]=lowlink[x]=++dfn_clock;

     for(int i=; i<vect[x].size(); i++)

     {

         int t=vect[x][i];

         if(!dfn[t])

         {

             DFS(t);

             lowlink[x]=min(lowlink[x],lowlink[t]);

         }

         else if(!scc_no[t]) //如果t不属于任何一个强连通分量

             lowlink[x]=min(lowlink[x],dfn[t]);

     }

     if(lowlink[x]==dfn[x])

     {

         scc_cnt++;

         while(true)

         {

             int t=stac.top();

             stac.pop();

             scc_no[t]=scc_cnt;

             //scc[scc_cnt].push_back(t);

             if(t==x)    break;

         }

     }

 }

 LL cal()

 {

     memset(dfn,,sizeof(dfn));

     memset(lowlink,,sizeof(lowlink));

     memset(scc_no,,sizeof(scc_no));

     dfn_clock=scc_cnt=;

     for(int i=; i<=n; i++)    if(!dfn[i])    DFS(i);   //深搜

     if(scc_cnt==)  return -;  //已经强连通

     memset(chu,,sizeof(chu));

     memset(ru,,sizeof(ru));

     for(int i=; i<=n; i++) //统计出入度数量

         for(int j=; j<vect[i].size(); j++)

             if(scc_no[i]!=scc_no[vect[i][j]] )  chu[scc_no[i]]=ru[scc_no[vect[i][j]]]=true;

     memset(num,,sizeof(num));

     for(int i=; i<=n; i++)    num[scc_no[i]]++;    //统计每个scc中的点的数目

     int small=INF;

     for(int i=; i<=scc_cnt; i++)    if(!chu[i]||!ru[i])   small=min(small,num[i]);//挑量小的，只要满足出/入度为0。如果都已经有出和入度了，那还计算啥！

     return (LL)n*(n-) - m - small*(n-small);   //注意10万*10万

 }

 int main()

 {

     freopen("input.txt", "r", stdin);

     int a, b, t, j=;

     cin>>t;

     while(t--)

     {

         scanf("%d%d",&n,&m);

         mapp.clear();

         int up=;

         for(int i=; i<=n; i++) vect[i].clear();

         for(int i=; i<m; i++)

         {

             scanf("%d%d", &a, &b);

             if(!mapp[a])    mapp[a]=++up;   //只是怕点号不连续，好像多余了

             if(!mapp[b])    mapp[b]=++up;

             vect[mapp[a]].push_back(mapp[b]);

         }

         printf("Case %d: %lld\n",++j,cal());

     }

     return ;

 }

AC代码

　　

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